Номер 545, страница 116 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

545. Три точечных заряда $q_1$, $q_2$ и $q_3$ лежат в одной плоскости. Результирующая $\vec{F}$ кулоновских сил, с которыми точечные заряды $q_1$ и $q_2$ действуют на отрицательный заряд $q_3$, показана на рисунке 98. Определите отношение между зарядами $q_1$ и $q_2$.

Рис. 98

Дано:

Три точечных заряда $q_1$, $q_2$, $q_3$.

Заряд $q_3$ отрицательный ($q_3 < 0$).

Расположение зарядов и результирующая сила $\vec{F}$, действующая на заряд $q_3$, показаны на рисунке.

Найти:

Соотношение $\frac{q_1}{q_2}$.

Решение:

Результирующая сила $\vec{F}$, действующая на заряд $q_3$, является векторной суммой сил $\vec{F_1}$ (со стороны заряда $q_1$) и $\vec{F_2}$ (со стороны заряда $q_2$):

$\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$

Сила $\vec{F_1}$ направлена вдоль прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_3$. Сила $\vec{F_2}$ направлена вдоль прямой, соединяющей $q_2$ и $q_3$.

Для определения величин и направлений сил воспользуемся координатной сеткой. Введем систему координат, поместив заряд $q_1$ в начало координат $(0, 0)$. Пусть сторона одной клетки сетки равна условной единице длины $a$. Тогда из рисунка можно определить координаты зарядов: $q_1$ в точке $(0, 0)$, $q_3$ в точке $(3a, 4a)$ и $q_2$ в точке $(7a, 0)$.

Вектор результирующей силы $\vec{F}$ начинается в точке $q_3$ и, судя по рисунку, смещается на 1 клетку влево и 2 клетки вниз. Конец вектора $\vec{F}$ находится в точке $(3a-a, 4a-2a) = (2a, 2a)$. Таким образом, вектор $\vec{F}$ имеет координаты:

$\vec{F} = (2a - 3a, 2a - 4a) = (-a, -2a)$

Разложим вектор $\vec{F}$ на составляющие $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$. Вектор $\vec{F_1}$ должен быть коллинеарен вектору, соединяющему $q_3$ и $q_1$, а вектор $\vec{F_2}$ — вектору, соединяющему $q_3$ и $q_2$.

Направляющий вектор от $q_3$ к $q_1$: $\vec{d_1} = (0 - 3a, 0 - 4a) = (-3a, -4a)$.

Направляющий вектор от $q_3$ к $q_2$: $\vec{d_2} = (7a - 3a, 0 - 4a) = (4a, -4a)$.

Тогда $\vec{F_1} = c_1 \vec{d_1}$ и $\vec{F_2} = c_2 \vec{d_2}$, где $c_1$ и $c_2$ – некоторые скалярные коэффициенты. Подставим это в уравнение для результирующей силы:

$(-a, -2a) = c_1(-3a, -4a) + c_2(4a, -4a)$

Сократив на $a$, получим систему уравнений для $c_1$ и $c_2$:

$\begin{cases} -1 = -3c_1 + 4c_2 \\ -2 = -4c_1 - 4c_2 \end{cases}$

Сложим два уравнения, чтобы исключить $c_2$:

$-1 + (-2) = (-3c_1 + 4c_2) + (-4c_1 - 4c_2)$

$-3 = -7c_1 \implies c_1 = \frac{3}{7}$

Подставим найденное значение $c_1$ в любое из уравнений, например, во второе:

$-2 = -4(\frac{3}{7}) - 4c_2 \implies -2 = -\frac{12}{7} - 4c_2 \implies 4c_2 = \frac{12}{7} - 2 = \frac{12-14}{7} = -\frac{2}{7}$

$c_2 = -\frac{2}{28} = -\frac{1}{14}$.

Ой, ошибка в вычислении. Пересчитаем: $4c_2 = -\frac{12}{7} + 2 = -\frac{12}{7} + \frac{14}{7} = \frac{2}{7}$, откуда $c_2 = \frac{2}{28} = \frac{1}{14}$.

Так как $c_1 = \frac{3}{7} > 0$, вектор силы $\vec{F_1}$ сонаправлен с вектором $\vec{d_1}$ (от $q_3$ к $q_1$). Это сила притяжения. Поскольку заряд $q_3$ отрицательный, заряд $q_1$ должен быть положительным ($q_1 > 0$).

Так как $c_2 = \frac{1}{14} > 0$, вектор силы $\vec{F_2}$ сонаправлен с вектором $\vec{d_2}$ (от $q_3$ к $q_2$). Это также сила притяжения. Следовательно, заряд $q_2$ тоже должен быть положительным ($q_2 > 0$).

Поскольку знаки зарядов $q_1$ и $q_2$ одинаковы, их соотношение $\frac{q_1}{q_2}$ будет положительным числом.

Теперь найдем модули сил $F_1$ и $F_2$:

$F_1 = |\vec{F_1}| = |c_1 \vec{d_1}| = \frac{3}{7} |(-3a, -4a)| = \frac{3a}{7} \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \frac{3a}{7} \sqrt{25} = \frac{15a}{7}$

$F_2 = |\vec{F_2}| = |c_2 \vec{d_2}| = \frac{1}{14} |(4a, -4a)| = \frac{a}{14} \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \frac{a}{14} \sqrt{32} = \frac{4\sqrt{2}a}{14} = \frac{2\sqrt{2}a}{7}$

Модули сил по закону Кулона равны:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2}$

$F_2 = k \frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^2}$

где $r_{13}$ и $r_{23}$ — расстояния между соответствующими зарядами. Найдем квадраты этих расстояний из координат:

$r_{13}^2 = (3a - 0)^2 + (4a - 0)^2 = 9a^2 + 16a^2 = 25a^2$

$r_{23}^2 = (7a - 3a)^2 + (0 - 4a)^2 = (4a)^2 + (-4a)^2 = 16a^2 + 16a^2 = 32a^2$

Из закона Кулона выразим модули зарядов $|q_1|$ и $|q_2|$ и найдем их отношение:

$\frac{|q_1|}{|q_2|} = \frac{F_1 r_{13}^2 / (k |q_3|)}{F_2 r_{23}^2 / (k |q_3|)} = \frac{F_1}{F_2} \cdot \frac{r_{13}^2}{r_{23}^2}$

Подставим найденные значения:

$\frac{|q_1|}{|q_2|} = \frac{15a/7}{2\sqrt{2}a/7} \cdot \frac{25a^2}{32a^2} = \frac{15}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{25}{32} = \frac{375}{64\sqrt{2}}$

Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{|q_1|}{|q_2|} = \frac{375\sqrt{2}}{64 \cdot 2} = \frac{375\sqrt{2}}{128}$

Так как заряды $q_1$ и $q_2$ одного знака, искомое соотношение равно отношению их модулей.

$\frac{q_1}{q_2} = \frac{375\sqrt{2}}{128}$

Ответ: Соотношение между зарядами $\frac{q_1}{q_2} = \frac{375\sqrt{2}}{128}$.