Номер 538, страница 114 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

538. Три одинаковых незаряженных металлических шарика 1, 2 и 3 расположены вдоль одной прямой, и соседние шарики связаны между собой одинаковыми длинными изолирующими нитями. Четвертый такой же шарик зарядили и по очереди прикоснулись им к первым трем в порядке возрастания их номеров. Во сколько раз после этого отличаются силы натяжения нитей?

Дано:

Три одинаковых незаряженных металлических шарика: $q_1 = 0$, $q_2 = 0$, $q_3 = 0$.

Четвертый такой же шарик с начальным зарядом $Q$.

Расстояние между соседними шариками: $r_{12} = r_{23} = r$.

Найти:

Во сколько раз отличаются силы натяжения нитей $T_1$ (между шариками 1 и 2) и $T_2$ (между шариками 2 и 3), то есть найти отношение $\frac{T_1}{T_2}$ или $\frac{T_2}{T_1}$.

Решение:

1. Определим заряды шариков 1, 2 и 3 после того, как к ним поочередно прикоснулись четвертым шариком. При соприкосновении двух одинаковых проводящих шариков их суммарный заряд распределяется между ними поровну.

Первое прикосновение (шарик 4 к шарику 1):

Заряд четвертого шарика $Q$, заряд первого $q_1 = 0$. Суммарный заряд $Q+0=Q$. После соприкосновения заряды станут:

$q'_1 = \frac{Q}{2}$

$q'_4 = \frac{Q}{2}$

Второе прикосновение (шарик 4 к шарику 2):

Заряд четвертого шарика теперь $q'_4 = \frac{Q}{2}$, заряд второго $q_2 = 0$. Суммарный заряд $\frac{Q}{2}+0=\frac{Q}{2}$. После соприкосновения заряды станут:

$q'_2 = \frac{Q/2}{2} = \frac{Q}{4}$

$q''_4 = \frac{Q}{4}$

Третье прикосновение (шарик 4 к шарику 3):

Заряд четвертого шарика теперь $q''_4 = \frac{Q}{4}$, заряд третьего $q_3 = 0$. Суммарный заряд $\frac{Q}{4}+0=\frac{Q}{4}$. После соприкосновения заряды станут:

$q'_3 = \frac{Q/4}{2} = \frac{Q}{8}$

$q'''_4 = \frac{Q}{8}$

Таким образом, итоговые заряды шариков, связанных нитями, равны:

$q_1 = \frac{Q}{2}$, $q_2 = \frac{Q}{4}$, $q_3 = \frac{Q}{8}$.

2. Рассчитаем силы натяжения нитей. Все заряды имеют одинаковый знак, поэтому шарики отталкиваются друг от друга, растягивая нити.

Сила натяжения нити $T_2$ между шариками 2 и 3 уравновешивает суммарную силу электростатического отталкивания, действующую на шарик 3 со стороны шариков 1 и 2. Расстояние между шариками 1 и 3 равно $2r$.

$T_2 = F_{13} + F_{23}$

Используя закон Кулона $F = k \frac{|q_a q_b|}{d^2}$, получаем:

$F_{13} = k \frac{q_1 q_3}{(2r)^2} = k \frac{(\frac{Q}{2})(\frac{Q}{8})}{4r^2} = k \frac{Q^2}{64r^2}$

$F_{23} = k \frac{q_2 q_3}{r^2} = k \frac{(\frac{Q}{4})(\frac{Q}{8})}{r^2} = k \frac{Q^2}{32r^2}$

Тогда сила натяжения $T_2$:

$T_2 = k \frac{Q^2}{64r^2} + k \frac{Q^2}{32r^2} = k\frac{Q^2}{r^2} \left( \frac{1}{64} + \frac{2}{64} \right) = 3k\frac{Q^2}{64r^2}$

Сила натяжения нити $T_1$ между шариками 1 и 2 уравновешивает суммарную силу отталкивания, действующую на систему из шариков {2, 3} со стороны шарика 1.

$T_1 = F_{12} + F_{13}$

$F_{12} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{(\frac{Q}{2})(\frac{Q}{4})}{r^2} = k \frac{Q^2}{8r^2}$

Тогда сила натяжения $T_1$:

$T_1 = k \frac{Q^2}{8r^2} + k \frac{Q^2}{64r^2} = k\frac{Q^2}{r^2} \left( \frac{8}{64} + \frac{1}{64} \right) = 9k\frac{Q^2}{64r^2}$

3. Найдем отношение сил натяжения.

$\frac{T_1}{T_2} = \frac{9k\frac{Q^2}{64r^2}}{3k\frac{Q^2}{64r^2}} = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: Силы натяжения нитей отличаются в 3 раза (сила натяжения нити между первым и вторым шариками больше).