Номер 531, страница 113 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

531. Два одноименно заряженных шарика массой $m = 0,8 \text{ г}$ каждый подвешены в вакууме на тонких невесомых нерастяжимых и непроводящих нитях одинаковой длины. Нити, верхние концы которых привязаны в одной точке, образуют между собой угол $\alpha = 90^{\circ}$. Определите модуль силы натяжения нити, если всю систему погрузить в неэлектропроводящую жидкость, плотность которой равна плотности материала шариков, а ее диэлектрическая проницаемость $\varepsilon = 2$.

Дано:

$m = 0.8 \text{ г}$

$\alpha = 90^\circ$

$\rho_{ж} = \rho_{ш}$ (плотность жидкости равна плотности шариков)

$\epsilon = 2$

$g = 9.8 \text{ м/с}^2$

$m = 0.8 \text{ г} = 0.8 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 8 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$

Найти:

$T' - ?$

Решение:

1. Сначала рассмотрим равновесие одного из шариков в вакууме. На шарик действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $\vec{F_e}$.

Поскольку угол между нитями $\alpha = 90^\circ$, то угол отклонения каждой нити от вертикали составляет $\beta = \alpha/2 = 45^\circ$.

Запишем условия равновесия для одного шарика в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси:

Ось Y: $T \cos\beta - mg = 0 \implies T \cos\beta = mg$

Ось X: $T \sin\beta - F_e = 0 \implies T \sin\beta = F_e$

Разделив второе уравнение на первое, получим:

$\frac{T \sin\beta}{T \cos\beta} = \frac{F_e}{mg} \implies \tan\beta = \frac{F_e}{mg}$

Так как $\beta = 45^\circ$, то $\tan(45^\circ) = 1$. Отсюда следует, что в вакууме модуль силы Кулона равен модулю силы тяжести:

$F_e = mg$

2. Теперь рассмотрим равновесие шарика после погружения системы в неэлектропроводящую жидкость. На шарик действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, новая сила натяжения нити $\vec{T'}$, выталкивающая сила Архимеда $\vec{F_A}$ и новая сила электростатического отталкивания $\vec{F'_e}$.

Сила Архимеда вычисляется по формуле $F_A = \rho_ж g V_ш$, где $\rho_ж$ — плотность жидкости, а $V_ш$ — объём шарика. По условию задачи, плотность жидкости равна плотности материала шариков: $\rho_ж = \rho_ш$. Масса шарика связана с его плотностью и объемом как $m = \rho_ш V_ш$.

Таким образом, сила Архимеда оказывается равной силе тяжести:

$F_A = \rho_ш g V_ш = mg$

Сила тяжести направлена вертикально вниз, а сила Архимеда — вертикально вверх. Так как их модули равны, их равнодействующая равна нулю. Это означает, что шарик в данной жидкости будет находиться в состоянии невесомости.

Для равновесия шарика необходимо, чтобы оставшиеся две силы — сила натяжения $\vec{T'}$ и сила Кулона $\vec{F'_e}$ — также уравновешивали друг друга. Это возможно только если они равны по модулю и направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой. Сила Кулона $\vec{F'_e}$ действует горизонтально. Следовательно, сила натяжения $\vec{T'}$ также должна быть направлена горизонтально. Это означает, что нити расположатся горизонтально, и угол их отклонения от вертикали станет $\beta' = 90^\circ$.

В новом положении равновесия $T' = F'_e$.

3. Найдем связь между силами и вычислим $T'$.

Сила Кулона в диэлектрической среде с проницаемостью $\epsilon$ ослабляется в $\epsilon$ раз. Кроме того, изменяется расстояние между шариками. Пусть $l$ - длина нити.

В вакууме расстояние было $r = 2l\sin\beta = 2l\sin(45^\circ) = l\sqrt{2}$. Сила Кулона была $F_e = k \frac{q^2}{r^2} = k \frac{q^2}{2l^2}$.

В жидкости новое расстояние $r' = 2l\sin\beta' = 2l\sin(90^\circ) = 2l$. Новая сила Кулона $F'_e = \frac{1}{\epsilon} k \frac{q^2}{(r')^2} = \frac{k q^2}{\epsilon (2l)^2} = \frac{k q^2}{4\epsilon l^2}$.

Из первого случая мы знаем, что $mg = F_e = k \frac{q^2}{2l^2}$. Отсюда можно выразить $k\frac{q^2}{l^2} = 2mg$.

Подставим это выражение в формулу для новой силы натяжения:

$T' = F'_e = \frac{1}{4\epsilon} \left( k\frac{q^2}{l^2} \right) = \frac{2mg}{4\epsilon} = \frac{mg}{2\epsilon}$

4. Выполним численный расчет:

$T' = \frac{8 \cdot 10^{-4} \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 2} = \frac{7.84 \cdot 10^{-3}}{4} \text{ Н} = 1.96 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

Ответ: $1.96 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$ (или $1.96 \text{ мН}$).