Номер 537, страница 114 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

537. Два одинаковых точечных заряда находятся на некотором расстоянии друг от друга. Во сколько раз возрастет модуль силы, действующей на один из этих зарядов, если на середине прямой, соединяющей их, поместить третий:

а) такой же по величине, но противоположный по знаку точечный заряд;

б) такой же по знаку, но вдвое больший по величине точечный заряд?

Дано:

$q_1 = q_2 = q$ – величины двух одинаковых точечных зарядов.

$r$ – начальное расстояние между зарядами $q_1$ и $q_2$.

Третий заряд $q_3$ помещается на середине прямой, соединяющей $q_1$ и $q_2$.

Для случая а): $q_3 = -q$.

Для случая б): $q_3 = 2q$.

Найти:

а) $\frac{F_{2a}}{F_1}$ – отношение модуля результирующей силы к начальной.

б) $\frac{F_{2b}}{F_1}$ – отношение модуля результирующей силы к начальной.

Решение:

Согласно закону Кулона, модуль начальной силы взаимодействия $F_1$ между зарядами $q_1$ и $q_2$ равен:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

где $k$ – коэффициент пропорциональности. Так как заряды одинаковые (одноименные), это сила отталкивания.

Рассмотрим результирующую силу, действующую на один из зарядов, например на $q_2$, после добавления третьего заряда $q_3$. По принципу суперпозиции, результирующая сила будет равна векторной сумме сил, действующих на $q_2$ со стороны $q_1$ и $q_3$.

а)

Третий заряд $q_3 = -q$ помещен на расстоянии $r/2$ от заряда $q_2$.

На заряд $q_2$ теперь действуют две силы, лежащие на одной прямой:

1. Сила $F_{12}$ со стороны заряда $q_1$. Это сила отталкивания, ее модуль равен $F_1 = k \frac{q^2}{r^2}$. Она направлена от $q_1$.

2. Сила $F_{32}$ со стороны заряда $q_3$. Так как заряды $q_2$ и $q_3$ разноименные, это сила притяжения. Она направлена к $q_3$. Ее модуль равен:

$F_{32} = k \frac{|q_3 q_2|}{(r/2)^2} = k \frac{|(-q)q|}{r^2/4} = 4k \frac{q^2}{r^2}$

Сила отталкивания $F_{12}$ и сила притяжения $F_{32}$ направлены в противоположные стороны. Модуль результирующей силы $F_{2a}$ равен модулю разности их модулей:

$F_{2a} = |F_{12} - F_{32}| = |k \frac{q^2}{r^2} - 4k \frac{q^2}{r^2}| = |-3k \frac{q^2}{r^2}| = 3k \frac{q^2}{r^2}$

Найдем искомое отношение:

$\frac{F_{2a}}{F_1} = \frac{3k \frac{q^2}{r^2}}{k \frac{q^2}{r^2}} = 3$

Ответ: Модуль силы возрастет в 3 раза.

б)

Третий заряд $q_3 = 2q$ помещен на расстоянии $r/2$ от заряда $q_2$.

На заряд $q_2$ теперь действуют две силы отталкивания, лежащие на одной прямой:

1. Сила $F_{12}$ со стороны заряда $q_1$ с модулем $F_1 = k \frac{q^2}{r^2}$.

2. Сила $F_{32}$ со стороны заряда $q_3$. Так как заряды $q_2$ и $q_3$ одноименные, это сила отталкивания. Ее модуль равен:

$F_{32} = k \frac{|q_3 q_2|}{(r/2)^2} = k \frac{|(2q)q|}{r^2/4} = 8k \frac{q^2}{r^2}$

Обе силы отталкивания ($F_{12}$ от $q_1$ и $F_{32}$ от $q_3$) направлены в одну сторону. Модуль результирующей силы $F_{2b}$ равен сумме их модулей:

$F_{2b} = F_{12} + F_{32} = k \frac{q^2}{r^2} + 8k \frac{q^2}{r^2} = 9k \frac{q^2}{r^2}$

Найдем искомое отношение:

$\frac{F_{2b}}{F_1} = \frac{9k \frac{q^2}{r^2}}{k \frac{q^2}{r^2}} = 9$

Ответ: Модуль силы возрастет в 9 раз.