Номер 533, страница 113 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

533. Два маленьких одинаковых шарика заряжены равными по величине, но противоположными по знаку зарядами $|q_1|=|q_2|$. К шарикам прикреплены тонкие длинные легкие непроводящие нити, проходящие через одну вертикаль так, что расстояние между шариками равно $r$ (рис. 94). После того как пространство заполнили керосином, оказалось, что сила натяжения нити, к которой привязан второй шарик, не изменилась. Определите модуль силы натяжения этой нити и массу одного из шариков. Плотность керосина $\rho_k$, его диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$. Плотность вещества каждого шарика равна $\rho$.

Рис. 94

Дано:

$|q_1| = |q_2| = q$ - модуль заряда каждого шарика

$r$ - расстояние между шариками

$\rho_k$ - плотность керосина

$\epsilon$ - диэлектрическая проницаемость керосина

$\rho$ - плотность вещества шарика

$T_2 = T'_2$ - сила натяжения нити второго шарика не изменяется

Найти:

$T_2$ - модуль силы натяжения нити второго шарика

$m$ - массу одного шарика

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на второй шарик ($q_2$), в двух случаях.

1. Шарики находятся в воздухе (диэлектрическую проницаемость воздуха принимаем за 1).

На второй шарик действуют три силы вдоль вертикальной оси: сила тяжести $F_g = mg$ (вниз), сила натяжения нити $T_2$ (вниз, так как шарик привязан к полу) и сила электростатического притяжения со стороны первого шарика $F_e$ (вверх, так как заряды разноименные). Условие равновесия для второго шарика:

$F_e - mg - T_2 = 0$

Отсюда выразим силу натяжения:

$T_2 = F_e - mg$ (1)

Сила Кулона в воздухе равна $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$.

2. Шарики находятся в керосине.

На второй шарик теперь действуют четыре силы: сила тяжести $F_g = mg$ (вниз), сила натяжения нити $T'_2$ (вниз), сила Кулона в керосине $F'_e$ (вверх) и выталкивающая сила Архимеда $F_A$ (вверх). По условию задачи, сила натяжения не изменилась, то есть $T'_2 = T_2$. Условие равновесия для второго шарика в керосине:

$F'_e + F_A - mg - T_2 = 0$

Отсюда выразим силу натяжения:

$T_2 = F'_e + F_A - mg$ (2)

Сила Кулона в керосине ослабляется в $\epsilon$ раз: $F'_e = \frac{F_e}{\epsilon}$.

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_A = \rho_k g V$, где $V$ - объем шарика. Объем шарика можно выразить через его массу и плотность: $V = \frac{m}{\rho}$. Таким образом, $F_A = mg\frac{\rho_k}{\rho}$.

Приравняем выражения для $T_2$ из уравнений (1) и (2):

$F_e - mg = F'_e + F_A - mg$

$F_e = F'_e + F_A$

Подставим выражения для $F'_e$ и $F_A$:

$F_e = \frac{F_e}{\epsilon} + mg\frac{\rho_k}{\rho}$

Перегруппируем члены, чтобы найти связь между силой Кулона и силой тяжести:

$F_e \left(1 - \frac{1}{\epsilon}\right) = mg\frac{\rho_k}{\rho}$

$F_e \frac{\epsilon - 1}{\epsilon} = mg\frac{\rho_k}{\rho}$ (3)

Это основное соотношение, из которого мы найдем искомые величины.

Масса одного из шариков

Из соотношения (3) выразим массу $m$. Для этого подставим в него явное выражение для силы Кулона $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$.

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \frac{\epsilon - 1}{\epsilon} = mg\frac{\rho_k}{\rho}$

Выражаем массу $m$:

$m = \frac{1}{g} \frac{\rho}{\rho_k} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \frac{\epsilon - 1}{\epsilon}$

Ответ: $m = \frac{q^2 \rho (\epsilon - 1)}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon g r^2 \rho_k}$

Модуль силы натяжения этой нити

Для нахождения силы натяжения $T_2$ воспользуемся уравнением (1): $T_2 = F_e - mg$. Из соотношения (3) выразим $mg$ через $F_e$:

$mg = F_e \frac{\rho}{\rho_k} \frac{\epsilon - 1}{\epsilon}$

Подставим это выражение для $mg$ в формулу для $T_2$:

$T_2 = F_e - F_e \frac{\rho}{\rho_k} \frac{\epsilon - 1}{\epsilon} = F_e \left(1 - \frac{\rho(\epsilon - 1)}{\rho_k \epsilon}\right)$

Теперь подставим выражение для силы Кулона $F_e$:

Ответ: $T_2 = \frac{q^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \left(1 - \frac{\rho(\epsilon - 1)}{\rho_k \epsilon}\right)$