Номер 539, страница 115 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

539. Три одинаковых точечных заряда $q_1 = q_2 = q_3 = q$ расположены на одной координатной оси $Ox$ (рис. 95).

Определите модуль кулоновской силы, действующей на третий заряд, если первый заряд действует на второй с силой, модуль которой $F_{12} = 225$ мН.

Рис. 95

Дано:

$q_1 = q_2 = q_3 = q$

$F_{12} = 225 \text{ мН}$

Перевод в систему СИ:
$F_{12} = 225 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0.225 \text{ Н}$

Найти:

$F_3$

Решение:

Закон Кулона для силы взаимодействия двух точечных зарядов имеет вид:

$F = k \frac{|q_a q_b|}{r^2}$

где $k$ – коэффициент пропорциональности, $q_a$ и $q_b$ – величины зарядов, а $r$ – расстояние между ними.

Из рисунка определим положения зарядов. Примем расстояние между двумя соседними делениями на оси $Ox$ за условную единицу длины $d$. Тогда координаты зарядов будут:

$x_1 = -3d$

$x_2 = -d$

$x_3 = 4d$

Расстояние между первым и вторым зарядами:

$r_{12} = x_2 - x_1 = -d - (-3d) = 2d$

Сила, с которой первый заряд действует на второй, по модулю равна:

$F_{12} = k \frac{|q_1 q_2|}{r_{12}^2} = k \frac{q^2}{(2d)^2} = k \frac{q^2}{4d^2}$

Отсюда мы можем выразить величину $k \frac{q^2}{d^2}$:

$k \frac{q^2}{d^2} = 4 F_{12}$

На третий заряд $q_3$ действуют два других заряда: $q_1$ и $q_2$. Согласно принципу суперпозиции, результирующая сила, действующая на третий заряд, равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны первого и второго зарядов:

$\vec{F_3} = \vec{F_{13}} + \vec{F_{23}}$

Поскольку все три заряда одинаковы, силы $\vec{F_{13}}$ и $\vec{F_{23}}$ являются силами отталкивания и направлены в одну сторону (вдоль положительного направления оси $Ox$). Следовательно, модуль результирующей силы будет равен сумме модулей этих сил:

$F_3 = F_{13} + F_{23}$

Найдем модуль силы $F_{13}$. Расстояние между первым и третьим зарядами:

$r_{13} = x_3 - x_1 = 4d - (-3d) = 7d$

Тогда модуль силы $F_{13}$:

$F_{13} = k \frac{|q_1 q_3|}{r_{13}^2} = k \frac{q^2}{(7d)^2} = k \frac{q^2}{49d^2} = \frac{1}{49} \left( k \frac{q^2}{d^2} \right)$

Подставим ранее найденное выражение для $k \frac{q^2}{d^2}$:

$F_{13} = \frac{1}{49} (4 F_{12}) = \frac{4 F_{12}}{49}$

Найдем модуль силы $F_{23}$. Расстояние между вторым и третьим зарядами:

$r_{23} = x_3 - x_2 = 4d - (-d) = 5d$

Тогда модуль силы $F_{23}$:

$F_{23} = k \frac{|q_2 q_3|}{r_{23}^2} = k \frac{q^2}{(5d)^2} = k \frac{q^2}{25d^2} = \frac{1}{25} \left( k \frac{q^2}{d^2} \right)$

Подставим выражение для $k \frac{q^2}{d^2}$:

$F_{23} = \frac{1}{25} (4 F_{12}) = \frac{4 F_{12}}{25}$

Теперь найдем результирующую силу $F_3$:

$F_3 = F_{13} + F_{23} = \frac{4 F_{12}}{49} + \frac{4 F_{12}}{25} = 4 F_{12} \left( \frac{1}{49} + \frac{1}{25} \right)$

Выполним вычисления, подставив значение $F_{12} = 225 \text{ мН}$:

$F_3 = 4 \cdot 225 \text{ мН} \cdot \left( \frac{25 + 49}{49 \cdot 25} \right) = 900 \text{ мН} \cdot \left( \frac{74}{1225} \right)$

$F_3 = \frac{900 \cdot 74}{1225} \text{ мН}$

Сократим дробь на 25 (так как $900 = 36 \cdot 25$, а $1225 = 49 \cdot 25$):

$F_3 = \frac{36 \cdot 25 \cdot 74}{49 \cdot 25} \text{ мН} = \frac{36 \cdot 74}{49} \text{ мН} = \frac{2664}{49} \text{ мН} \approx 54.367 \text{ мН}$

Округляя до трёх значащих цифр, как в исходных данных, получаем:

$F_3 \approx 54.4 \text{ мН}$

Ответ: модуль кулоновской силы, действующей на третий заряд, равен приблизительно $54.4 \text{ мН}$.