Номер 541, страница 115 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

541. Два точечных заряда $q$ и $4q$ находятся в вакууме на расстоянии $l$ друг от друга. Какой заряд нужно поместить и на каком расстоянии от заряда $q$, чтобы вся система находилась в равновесии?

Дано:

Два точечных заряда $q_1 = q$ и $q_2 = 4q$.

Расстояние между ними $l$.

Найти:

Величину третьего заряда $q_3$ и расстояние $x$ от заряда $q$ до $q_3$, при которых система будет в равновесии.

Решение:

Для того чтобы система из трех зарядов находилась в равновесии, необходимо, чтобы векторная сумма сил, действующих на каждый из зарядов, была равна нулю.

1. Расположение третьего заряда.

Пусть заряды $q_1 = q$ и $q_2 = 4q$ расположены на одной прямой. Чтобы третий заряд $q_3$ находился в равновесии, силы, действующие на него со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$, должны быть равны по модулю и противоположны по направлению. Это возможно только в том случае, если заряд $q_3$ расположен на прямой, соединяющей заряды $q_1$ и $q_2$.

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ одноименные (будем считать $q > 0$), силы, которые они создают, будут направлены в противоположные стороны только в области между ними. Если поместить $q_3$ вне этого отрезка, силы от $q_1$ и $q_2$ будут сонаправлены, и равновесие будет невозможно.

Пусть заряд $q_3$ находится на расстоянии $x$ от заряда $q_1=q$. Тогда его расстояние до заряда $q_2=4q$ будет равно $l-x$.

2. Равновесие заряда $q_3$.

Запишем условие равенства модулей сил, действующих на $q_3$ (согласно закону Кулона $F = k\frac{|q_a q_b|}{r^2}$):

$F_{13} = F_{23}$

$k\frac{|q_1 q_3|}{x^2} = k\frac{|q_2 q_3|}{(l-x)^2}$

Подставляя значения зарядов $q_1=q$ и $q_2=4q$ и сокращая общие множители, получаем:

$\frac{|q|}{x^2} = \frac{|4q|}{(l-x)^2} \implies \frac{1}{x^2} = \frac{4}{(l-x)^2}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получим:

$\frac{1}{x} = \frac{2}{l-x}$

(Берем положительное значение корня, так как $x$ и $l-x$ — это расстояния, то есть положительные величины).

Решая это уравнение, находим $x$:

$l-x = 2x \implies 3x = l \implies x = \frac{l}{3}$

Итак, заряд $q_3$ должен быть расположен на расстоянии $l/3$ от заряда $q$.

3. Равновесие заряда $q_1 = q$.

Теперь рассмотрим условие равновесия для заряда $q_1$. На него действуют две силы: сила отталкивания $F_{21}$ со стороны заряда $q_2=4q$ и сила $F_{31}$ со стороны заряда $q_3$. Для равновесия эти силы должны быть равны по модулю и противоположны по направлению.

Сила $F_{21}$ направлена от заряда $q_2$. Следовательно, сила $F_{31}$ должна быть направлена к заряду $q_3$. Это означает, что сила $F_{31}$ должна быть силой притяжения, а значит, заряды $q_1$ и $q_3$ должны быть разноименными. Так как $q_1=q$, то заряд $q_3$ должен быть отрицательным.

Приравняем модули сил:

$F_{21} = F_{31}$

$k\frac{|q_1 q_2|}{l^2} = k\frac{|q_1 q_3|}{x^2}$

Подставим известные значения $q_1=q$, $q_2=4q$ и $x = l/3$:

$k\frac{|q \cdot 4q|}{l^2} = k\frac{|q \cdot q_3|}{(l/3)^2}$

$\frac{4q^2}{l^2} = \frac{|q||q_3|}{l^2/9}$

Сократим на $\frac{|q|}{l^2}$:

$4|q| = 9|q_3|$

$|q_3| = \frac{4}{9}|q|$

Учитывая, что заряд $q_3$ отрицательный, получаем: $q_3 = -\frac{4}{9}q$.

4. Проверка равновесия заряда $q_2=4q$.

Убедимся, что при найденных значениях $x$ и $q_3$ заряд $q_2$ также находится в равновесии. На него действуют сила отталкивания $F_{12}$ от $q_1$ и сила притяжения $F_{32}$ от $q_3$.

Модуль силы $F_{12}$:

$F_{12} = k\frac{|q_1 q_2|}{l^2} = k\frac{|q \cdot 4q|}{l^2} = k\frac{4q^2}{l^2}$

Модуль силы $F_{32}$ (расстояние $r_{23} = l - x = l - l/3 = 2l/3$):

$F_{32} = k\frac{|q_2 q_3|}{(l-x)^2} = k\frac{|4q \cdot (-\frac{4}{9}q)|}{(2l/3)^2} = k\frac{\frac{16}{9}q^2}{\frac{4}{9}l^2} = k\frac{4q^2}{l^2}$

Так как $F_{12} = F_{32}$ и силы направлены в противоположные стороны, заряд $q_2$ также находится в равновесии. Таким образом, вся система находится в равновесии.

Ответ: Чтобы вся система находилась в равновесии, нужно поместить заряд $q_3 = -\frac{4}{9}q$ на расстоянии $\frac{l}{3}$ от заряда $q$ между двумя исходными зарядами.