Номер 536, страница 114 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

536. После того как на середине отрезка, соединяющего два точечных одинаковых положительных заряда, поместили третий точечный заряд, система зарядов оказалась в равновесии (на каждый заряд равнодействующая сила электростатического взаимодействия стала равной нулю). Определите отношение модуля крайнего заряда к модулю среднего заряда.

Дано:

Два одинаковых положительных точечных заряда: $q_1 = q_2 = q$, где $q > 0$.

Третий точечный заряд $q_3$ находится на середине отрезка, соединяющего $q_1$ и $q_2$.

Система зарядов находится в равновесии: $\vec{F}_{рез1} = 0$, $\vec{F}_{рез2} = 0$, $\vec{F}_{рез3} = 0$.

Найти:

Отношение модуля крайнего заряда к модулю среднего заряда: $\frac{|q|}{|q_3|}$.

Решение:

Пусть расстояние между зарядами $q_1$ и $q_2$ равно $L$. Расположим их на оси $Ox$ в точках с координатами $x_1 = 0$ и $x_2 = L$. Тогда заряд $q_3$ будет находиться в точке $x_3 = L/2$.

Условие равновесия системы означает, что равнодействующая электростатических сил, действующих на каждый из зарядов, равна нулю.

1. Рассмотрим равновесие среднего заряда $q_3$. На него действуют силы со стороны зарядов $q_1$ и $q_2$. Сила со стороны $q_1$ равна $\vec{F}_{13}$, а со стороны $q_2$ — $\vec{F}_{23}$.

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ равны ($q_1 = q_2 = q$) и находятся на одинаковом расстоянии $L/2$ от заряда $q_3$, то модули сил, действующих на $q_3$, равны:

$|F_{13}| = k \frac{|q_1 \cdot q_3|}{(L/2)^2} = k \frac{|q \cdot q_3|}{(L/2)^2}$

$|F_{23}| = k \frac{|q_2 \cdot q_3|}{(L/2)^2} = k \frac{|q \cdot q_3|}{(L/2)^2}$

Так как силы $\vec{F}_{13}$ и $\vec{F}_{23}$ направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, их векторная сумма равна нулю. Таким образом, заряд $q_3$ находится в равновесии при любом знаке и величине $q_3$.

2. Рассмотрим равновесие одного из крайних зарядов, например, $q_2$ (в точке $x_2 = L$). На него действуют две силы: сила отталкивания $\vec{F}_{12}$ со стороны заряда $q_1$ и сила $\vec{F}_{32}$ со стороны заряда $q_3$.

Сила $\vec{F}_{12}$ направлена вправо (от $q_1$). Ее модуль равен:

$F_{12} = k \frac{|q_1 \cdot q_2|}{L^2} = k \frac{q^2}{L^2}$

Для того чтобы заряд $q_2$ находился в равновесии, сила $\vec{F}_{32}$ должна уравновешивать силу $\vec{F}_{12}$, то есть быть равной ей по модулю и противоположной по направлению. Следовательно, $\vec{F}_{32}$ должна быть направлена влево.

Поскольку заряд $q_2$ положительный, для того чтобы сила $\vec{F}_{32}$ была силой притяжения (направлена влево), заряд $q_3$ должен быть отрицательным.

Модуль силы $\vec{F}_{32}$ равен:

$F_{32} = k \frac{|q_3 \cdot q_2|}{(L/2)^2} = k \frac{|q_3| \cdot q}{L^2/4} = 4k \frac{|q_3| \cdot q}{L^2}$

Приравняем модули сил $F_{12}$ и $F_{32}$:

$k \frac{q^2}{L^2} = 4k \frac{|q_3| \cdot q}{L^2}$

Сократим общие множители $k$, $q$ и $L^2$ (поскольку $q \ne 0$):

$q = 4|q_3|$

Теперь найдем искомое отношение. Так как $q$ — положительный заряд, $|q|=q$.

$\frac{|q|}{|q_3|} = \frac{q}{|q_3|} = 4$

Из-за симметрии задачи, рассмотрение равновесия заряда $q_1$ привело бы к тому же результату.

Ответ: 4.