Номер 530, страница 112 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

530. Два одинаковых одноименно заряженных шарика висят на непроводящих невесомых нитях равной длины, закрепленных в одной точке. Определите плотность материала шариков, если угол расхождения нитей не изменился после погружения шариков в жидкость плотностью $\rho_{\text{ж}} = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ и диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 2,0.$

Дано:

Плотность жидкости $ \rho_ж = 800 \frac{кг}{м^3} $
Диэлектрическая проницаемость жидкости $ \epsilon = 2,0 $
Угол расхождения нитей в воздухе и в жидкости одинаков.

Найти:

Плотность материала шариков $ \rho_ш $.

Решение:

Рассмотрим равновесие одного из шариков в двух случаях: до погружения в жидкость (в воздухе) и после.

1. Шарики в воздухе.

На шарик действуют три силы: сила тяжести $ F_g = mg $, сила натяжения нити $ T_1 $ и сила кулоновского отталкивания $ F_{e1} $. Пусть $ \alpha $ — угол отклонения нити от вертикали. В состоянии равновесия сумма всех сил равна нулю. Запишем условия равновесия в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

Ось X (горизонтальная): $ T_1 \sin(\alpha) = F_{e1} $

Ось Y (вертикальная): $ T_1 \cos(\alpha) = mg $

Разделив первое уравнение на второе, получим тангенс угла отклонения:

$ \tan(\alpha) = \frac{F_{e1}}{mg} $ (1)

2. Шарики в жидкости.

После погружения в жидкость на шарик дополнительно действует выталкивающая сила Архимеда $ F_A $, направленная вертикально вверх. Сила кулоновского взаимодействия ослабевает в $ \epsilon $ раз и становится равной $ F_{e2} = \frac{F_{e1}}{\epsilon} $. По условию, угол отклонения нитей $ \alpha $ не изменился. Условия равновесия для шарика в жидкости:

Ось X (горизонтальная): $ T_2 \sin(\alpha) = F_{e2} $

Ось Y (вертикальная): $ T_2 \cos(\alpha) + F_A = mg $

Из второго уравнения выразим $ T_2 \cos(\alpha) = mg - F_A $. Разделив проекцию на ось X на проекцию на ось Y, получим:

$ \tan(\alpha) = \frac{F_{e2}}{mg - F_A} $ (2)

Поскольку угол $ \alpha $ в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2):

$ \frac{F_{e1}}{mg} = \frac{F_{e2}}{mg - F_A} $

Подставим выражение для силы Кулона в жидкости $ F_{e2} = \frac{F_{e1}}{\epsilon} $:

$ \frac{F_{e1}}{mg} = \frac{F_{e1}/\epsilon}{mg - F_A} $

Сократим $ F_{e1} $ (так как заряды не равны нулю) и $ mg $:

$ 1 = \frac{1/\epsilon}{1 - \frac{F_A}{mg}} $

Выталкивающая сила Архимеда равна $ F_A = \rho_ж g V $, где $ V $ — объем шарика. Масса шарика $ m = \rho_ш V $, где $ \rho_ш $ — искомая плотность материала шарика. Отсюда $ V = \frac{m}{\rho_ш} $. Тогда $ F_A = \rho_ж g \frac{m}{\rho_ш} $.

Отношение $ \frac{F_A}{mg} = \frac{\rho_ж g \frac{m}{\rho_ш}}{mg} = \frac{\rho_ж}{\rho_ш} $.

Подставим это отношение в наше уравнение:

$ 1 = \frac{1/\epsilon}{1 - \frac{\rho_ж}{\rho_ш}} $

Преобразуем уравнение, чтобы выразить $ \rho_ш $:

$ 1 - \frac{\rho_ж}{\rho_ш} = \frac{1}{\epsilon} $

$ \frac{\rho_ж}{\rho_ш} = 1 - \frac{1}{\epsilon} = \frac{\epsilon - 1}{\epsilon} $

$ \rho_ш = \rho_ж \frac{\epsilon}{\epsilon - 1} $

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$ \rho_ш = 800 \frac{кг}{м^3} \cdot \frac{2,0}{2,0 - 1} = 800 \cdot \frac{2}{1} = 1600 \frac{кг}{м^3} $

Ответ: плотность материала шариков равна $ 1600 \frac{кг}{м^3} $.