Номер 524, страница 111 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

524. Небольшой заряженный шарик, подвешенный на непроводящей нити, вращается в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega_1 = 3 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, причем в центре описываемой им окружности расположен точно такой же заряд. Если знак заряда вращающегося шарика изменить на противоположный, то при том же радиусе вращения угловая скорость станет $\omega_2 = 4 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. Определите расстояние от точки подвеса шарика до плоскости его вращения.

Дано:

Угловая скорость при одноименных зарядах, $\omega_1 = 3 \frac{рад}{с}$

Угловая скорость при разноименных зарядах, $\omega_2 = 4 \frac{рад}{с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \frac{м}{с^2}$

Найти:

Расстояние от точки подвеса до плоскости вращения, $h$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение заряженного шарика, подвешенного на нити. Он совершает равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости. На шарик действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса, и электростатическая (кулоновская) сила $F_e$, действующая в горизонтальной плоскости.

Пусть $m$ — масса шарика, $R$ — радиус окружности вращения, $h$ — искомое расстояние от точки подвеса до плоскости вращения, а $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали. Из геометрии установки следует, что $\tan \alpha = \frac{R}{h}$.

Равнодействующая всех сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_c = \omega^2 R$, направленное к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси для двух случаев.

1. Заряды шарика и центральный заряд одноименные.

В этом случае электростатическая сила $F_e$ является силой отталкивания и направлена от центра окружности. Угловая скорость равна $\omega_1$.

В проекции на вертикальную ось (ось Y) силы уравновешены:

$T_1 \cos \alpha - mg = 0 \implies T_1 \cos \alpha = mg$ (1)

В проекции на горизонтальную ось (ось X, направлена к центру) равнодействующая сил создает центростремительное ускорение:

$T_1 \sin \alpha - F_e = m \omega_1^2 R$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{T_1 \sin \alpha - F_e}{T_1 \cos \alpha} = \frac{m \omega_1^2 R}{mg}$

$\tan \alpha - \frac{F_e}{T_1 \cos \alpha} = \frac{\omega_1^2 R}{g}$

Подставим $T_1 \cos \alpha = mg$ из (1) и $\tan \alpha = \frac{R}{h}$:

$\frac{R}{h} - \frac{F_e}{mg} = \frac{\omega_1^2 R}{g}$

Умножим обе части на $g$ и разделим на $R$:

$\frac{g}{h} - \frac{F_e}{mR} = \omega_1^2$ (I)

2. Заряды шарика и центральный заряд разноименные.

В этом случае электростатическая сила $F_e$ является силой притяжения и направлена к центру окружности. По условию, радиус $R$ и высота $h$ остаются теми же. Угловая скорость равна $\omega_2$.

Проекция на вертикальную ось (ось Y):

$T_2 \cos \alpha - mg = 0 \implies T_2 \cos \alpha = mg$ (3)

Проекция на горизонтальную ось (ось X):

$T_2 \sin \alpha + F_e = m \omega_2^2 R$ (4)

Разделим уравнение (4) на (3) и проведем аналогичные преобразования:

$\frac{T_2 \sin \alpha + F_e}{T_2 \cos \alpha} = \frac{m \omega_2^2 R}{mg}$

$\tan \alpha + \frac{F_e}{mg} = \frac{\omega_2^2 R}{g}$

$\frac{R}{h} + \frac{F_e}{mg} = \frac{\omega_2^2 R}{g}$

$\frac{g}{h} + \frac{F_e}{mR} = \omega_2^2$ (II)

Получили систему из двух уравнений (I) и (II):

$\begin{cases} \frac{g}{h} - \frac{F_e}{mR} = \omega_1^2 \\ \frac{g}{h} + \frac{F_e}{mR} = \omega_2^2 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить неизвестную величину $\frac{F_e}{mR}$:

$\left(\frac{g}{h} - \frac{F_e}{mR}\right) + \left(\frac{g}{h} + \frac{F_e}{mR}\right) = \omega_1^2 + \omega_2^2$

$2\frac{g}{h} = \omega_1^2 + \omega_2^2$

Выразим искомую высоту $h$:

$h = \frac{2g}{\omega_1^2 + \omega_2^2}$

Подставим числовые значения:

$h = \frac{2 \cdot 9.8 \frac{м}{с^2}}{(3 \frac{рад}{с})^2 + (4 \frac{рад}{с})^2} = \frac{19.6}{9 + 16} = \frac{19.6}{25} = 0.784 \, м$

Ответ: расстояние от точки подвеса шарика до плоскости его вращения равно $0.784$ м.