Номер 525, страница 111 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

525. Два одинаковых маленьких шарика с зарядами $q = -100$ нКл каждый движутся по окружности радиуса $R = 10$ см вокруг закрепленного положительного заряда $Q = |q| = 100$ нКл. При этом шарики находятся в диаметрально противоположных точках окружности. Определите угловую скорость обращения шариков, если масса каждого из них $m = 0,30$ г.

Дано:

$q = -100 \text{ нКл} = -100 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = -1 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

$R = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$Q = |q| = 100 \text{ нКл} = 1 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

$m = 0.30 \text{ г} = 0.30 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 3 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

Найти:

$\omega$ — угловую скорость обращения шариков.

Решение:

Рассмотрим один из движущихся шариков. Его движение по окружности происходит под действием результирующей силы, которая является центростремительной. Эта сила складывается из двух электростатических сил:

1. Сила притяжения $F_1$ со стороны центрального положительного заряда $Q$. Эта сила направлена к центру окружности.

$F_1 = k \frac{|qQ|}{R^2}$

2. Сила отталкивания $F_2$ со стороны второго отрицательно заряженного шарика. Поскольку шарики находятся в диаметрально противоположных точках, расстояние между ними равно $2R$. Эта сила направлена от центра окружности.

$F_2 = k \frac{|q \cdot q|}{(2R)^2} = k \frac{q^2}{4R^2}$

Результирующая сила, направленная к центру, равна разности этих двух сил и является центростремительной силой $F_{\text{цс}}$:

$F_{\text{цс}} = F_1 - F_2 = k \frac{|qQ|}{R^2} - k \frac{q^2}{4R^2}$

Согласно второму закону Ньютона, центростремительная сила равна произведению массы тела на его центростремительное ускорение ($a_{\text{цс}} = \omega^2 R$):

$F_{\text{цс}} = m a_{\text{цс}} = m \omega^2 R$

Приравняем два выражения для центростремительной силы:

$m \omega^2 R = k \frac{|qQ|}{R^2} - k \frac{q^2}{4R^2}$

Из условия задачи известно, что $Q = |q|$, следовательно, $|qQ| = |q||q| = q^2$. Подставим это в уравнение:

$m \omega^2 R = k \frac{q^2}{R^2} - k \frac{q^2}{4R^2}$

Вынесем общий множитель $k \frac{q^2}{R^2}$ за скобки:

$m \omega^2 R = k \frac{q^2}{R^2} \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} k \frac{q^2}{R^2}$

Теперь выразим квадрат угловой скорости $\omega^2$:

$\omega^2 = \frac{3kq^2}{4mR^3}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $\omega$:

$\omega = \sqrt{\frac{3kq^2}{4mR^3}}$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$\omega^2 = \frac{3 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2) \cdot (1 \cdot 10^{-7} \text{ Кл})^2}{4 \cdot (3 \cdot 10^{-4} \text{ кг}) \cdot (0.1 \text{ м})^3} = \frac{27 \cdot 10^9 \cdot 10^{-14}}{12 \cdot 10^{-4} \cdot 10^{-3}} = \frac{27 \cdot 10^{-5}}{12 \cdot 10^{-7}}$

$\omega^2 = \frac{27}{12} \cdot 10^{-5 - (-7)} = 2.25 \cdot 10^2 = 225 \text{ (рад/с)}^2$

$\omega = \sqrt{225} = 15 \text{ рад/с}$

Ответ: угловая скорость обращения шариков равна $15 \text{ рад/с}$.