Номер 522, страница 110 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

522. Маленький шарик массой $m$, обладающий зарядом $q_1 = -q$ (заряд $q > 0$) и подвешенный на шелковой нити, вращают вокруг вертикальной оси так, что нить образует с вертикалью угол $\alpha$. Неподвижный заряд $q_2 = q$ находится на оси вращения на расстоянии $l$ от шарика (рис. 91). Определите период обращения шарика. Длина нити равна $l$.

Рис. 91

Дано:

Масса шарика: $m$

Заряд шарика: $q_1 = -q$ ($q > 0$)

Заряд на оси вращения: $q_2 = q$

Длина нити: $l$

Расстояние между зарядами: $l$

Угол нити с вертикалью: $\alpha$

Найти:

Период обращения шарика: $T$

Решение:

Шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости. Это движение обеспечивается действием трех сил: силы тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, силы натяжения нити $\vec{T}_{нит}$ и силы кулоновского притяжения $\vec{F_e}$ между зарядами $q_1$ и $q_2$.

Запишем второй закон Ньютона для шарика в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F_g} + \vec{T}_{нит} + \vec{F_e}$

где $\vec{a}$ — центростремительное ускорение, направленное к центру окружности.

Введем систему координат: ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру окружности, по которой движется шарик. Спроектируем силы на эти оси.

Радиус окружности, по которой движется шарик, равен $R = l \sin{\alpha}$.

Сила натяжения $\vec{T}_{нит}$ направлена вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали. Её проекции:

На ось OY: $T_{нит, y} = T_{нит} \cos{\alpha}$

На ось OX: $T_{нит, x} = T_{нит} \sin{\alpha}$

Сила тяжести $\vec{F_g}$ направлена вертикально вниз. Её проекции:

На ось OY: $F_{g, y} = -mg$

На ось OX: $F_{g, x} = 0$

Сила Кулона $\vec{F_e}$ — это сила притяжения, направленная от шарика $q_1$ к заряду $q_2$. Величина этой силы определяется законом Кулона:

$F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{l^2} = k \frac{q^2}{l^2}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.

Определим угол, который вектор силы $\vec{F_e}$ составляет с вертикалью. Рассмотрим треугольник, образованный шариком $q_1$, зарядом $q_2$ и центром окружности вращения. Этот треугольник прямоугольный. Горизонтальный катет равен радиусу $R = l \sin{\alpha}$, а гипотенуза равна расстоянию между зарядами $l$. Если обозначить искомый угол как $\beta$, то $\sin{\beta} = \frac{R}{l} = \frac{l \sin{\alpha}}{l} = \sin{\alpha}$. Следовательно, $\beta = \alpha$. Таким образом, сила Кулона направлена под тем же углом $\alpha$ к вертикали, что и нить.

Проекции силы Кулона (так как она направлена вниз и к центру):

На ось OY: $F_{e, y} = -F_e \cos{\alpha}$

На ось OX: $F_{e, x} = F_e \sin{\alpha}$

Поскольку шарик движется в горизонтальной плоскости, сумма проекций сил на вертикальную ось OY равна нулю:

$\sum F_y = T_{нит} \cos{\alpha} - mg - F_e \cos{\alpha} = 0$

$(T_{нит} - F_e) \cos{\alpha} = mg$ (1)

Сумма проекций сил на горизонтальную ось OX создает центростремительное ускорение $a = \omega^2 R = \omega^2 l \sin{\alpha}$, где $\omega$ — угловая скорость вращения:

$\sum F_x = T_{нит} \sin{\alpha} + F_e \sin{\alpha} = m \omega^2 l \sin{\alpha}$

$(T_{нит} + F_e) \sin{\alpha} = m \omega^2 l \sin{\alpha}$

Поскольку $\alpha \neq 0$, можно сократить на $\sin{\alpha}$:

$T_{нит} + F_e = m \omega^2 l$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Выразим $T_{нит}$ из уравнения (1):

$T_{нит} = \frac{mg}{\cos{\alpha}} + F_e$

Подставим это выражение для $T_{нит}$ в уравнение (2):

$(\frac{mg}{\cos{\alpha}} + F_e) + F_e = m \omega^2 l$

$\frac{mg}{\cos{\alpha}} + 2F_e = m \omega^2 l$

Подставим выражение для силы Кулона $F_e = k \frac{q^2}{l^2}$:

$\frac{mg}{\cos{\alpha}} + 2k \frac{q^2}{l^2} = m \omega^2 l$

Выразим квадрат угловой скорости $\omega^2$:

$\omega^2 = \frac{1}{ml} \left( \frac{mg}{\cos{\alpha}} + \frac{2kq^2}{l^2} \right) = \frac{g}{l\cos{\alpha}} + \frac{2kq^2}{ml^3}$

Период обращения $T$ связан с угловой скоростью соотношением $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Тогда:

$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{g}{l\cos{\alpha}} + \frac{2kq^2}{ml^3}}}$

Ответ: $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\frac{g}{l\cos{\alpha}} + \frac{2kq^2}{ml^3}}}$