Номер 519, страница 110 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

519. Один из двух соприкасающихся и находящихся в вакууме одинаковых маленьких проводящих шариков неподвижно закреплен, а другой привязан к концу вертикальной невесомой нити длиной $l = 20$ см. Масса каждого шарика $m = 0,9$ г. Шарикам сообщили одинаковые электрические заряды, и нить отклонилась на угол $\alpha = 60^\circ$ от вертикали. Какой заряд был сообщен каждому шарику?

Дано:

$l = 20 \text{ см}$

$m = 0,9 \text{ г}$

$\alpha = 60^\circ$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

$g \approx 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Переведем данные в систему СИ:

$l = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

$m = 0,9 \text{ г} = 0,9 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Найти:

$q$ - заряд, сообщенный каждому шарику.

Решение:

После того, как шарикам сообщили одинаковые заряды, подвижный шарик отклонился на угол $\alpha$ и система пришла в равновесие. На подвижный шарик действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити; и сила электростатического отталкивания $\vec{F_e}$, действующая со стороны неподвижного шарика.

Поскольку шарики одинаковые и им сообщили одинаковые заряды $q$, сила отталкивания определяется законом Кулона:

$F_e = k \frac{q^2}{r^2}$

где $r$ – расстояние между центрами шариков в положении равновесия. Из геометрических соображений (рассматривая прямоугольный треугольник, образованный нитью, вертикалью и горизонтальным смещением шарика) находим это расстояние:

$r = l \sin{\alpha}$

Условие равновесия для подвижного шарика в векторной форме выглядит так:

$m\vec{g} + \vec{T} + \vec{F_e} = 0$

Для решения спроецируем это уравнение на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси. Ось X направим горизонтально в сторону отклонения шарика, а ось Y – вертикально вверх.

Проекция на ось X:

$F_e - T \sin{\alpha} = 0 \implies F_e = T \sin{\alpha}$

Проекция на ось Y:

$T \cos{\alpha} - mg = 0 \implies T = \frac{mg}{\cos{\alpha}}$

Подставим выражение для силы натяжения $T$ из второго уравнения в первое, чтобы найти силу электростатического отталкивания:

$F_e = \frac{mg}{\cos{\alpha}} \sin{\alpha} = mg \tan{\alpha}$

Теперь приравняем два полученных выражения для силы $F_e$:

$k \frac{q^2}{r^2} = mg \tan{\alpha}$

Подставим в это уравнение выражение для расстояния $r = l \sin{\alpha}$:

$k \frac{q^2}{(l \sin{\alpha})^2} = mg \tan{\alpha}$

Выразим отсюда искомый заряд $q$:

$q^2 = \frac{mg \tan{\alpha} \cdot (l \sin{\alpha})^2}{k}$

$q = \sqrt{\frac{mg \tan{\alpha} \cdot l^2 \sin^2{\alpha}}{k}} = l \sin{\alpha} \sqrt{\frac{mg \tan{\alpha}}{k}}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$q = 0,2 \cdot \sin{60^\circ} \sqrt{\frac{0,9 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot \tan{60^\circ}}{9 \cdot 10^9}}$

Используем значения тригонометрических функций: $\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\tan{60^\circ} = \sqrt{3}$.

$q = 0,2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{\frac{0,9 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot \sqrt{3}}{9 \cdot 10^9}}$

$q = 0,1 \cdot \sqrt{3} \sqrt{\frac{8,82 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{3}}{9 \cdot 10^9}} \approx 0,1732 \cdot \sqrt{\frac{15,277 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^9}}$

$q \approx 0,1732 \cdot \sqrt{1,697 \cdot 10^{-12}} \approx 0,1732 \cdot 1,303 \cdot 10^{-6}$

$q \approx 0,2257 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Округляя результат, получаем:

$q \approx 2,26 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$

Ответ: Заряд, сообщенный каждому шарику, равен $q \approx 2,26 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$ (или 226 нКл).