Номер 512, страница 108 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

512. Два одноименных точечных заряда, находящиеся в диэлектрике с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon = 6$ на расстоянии $r = 2 \text{ м}$ друг от друга, отталкиваются с силой, модуль которой $F = 3 \text{ мН}$. Определите величину каждого заряда, если их суммарный заряд $Q = 6 \text{ мкКл}$.

Дано:

Диэлектрическая проницаемость среды $\epsilon = 6$

Расстояние между зарядами $r = 2$ м

Сила отталкивания $F = 3$ мН

Суммарный заряд $Q = 6$ мкКл

Электрическая постоянная $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$

Перевод в систему СИ:

$F = 3 \cdot 10^{-3}$ Н

$Q = 6 \cdot 10^{-6}$ Кл

Найти:

$q_1, q_2$ — величины зарядов.

Решение:

Пусть $q_1$ и $q_2$ — величины искомых точечных зарядов. Согласно условию задачи, их сумма равна $Q$:

$q_1 + q_2 = Q$ (1)

Сила взаимодействия (отталкивания) двух точечных зарядов в диэлектрической среде определяется законом Кулона:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{\epsilon r^2}$

Так как по условию заряды одноименные, их произведение $q_1 q_2$ положительно, и знак модуля можно опустить:

$F = k \frac{q_1 q_2}{\epsilon r^2}$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными. Из уравнения (2) выразим произведение зарядов $q_1 q_2$:

$q_1 q_2 = \frac{F \epsilon r^2}{k}$

Подставим числовые значения в СИ:

$q_1 q_2 = \frac{3 \cdot 10^{-3} \text{ Н} \cdot 6 \cdot (2 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} = \frac{3 \cdot 10^{-3} \cdot 6 \cdot 4}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл}^2 = \frac{72 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^9} \text{ Кл}^2 = 8 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2$

Теперь мы имеем систему:

$\begin{cases} q_1 + q_2 = 6 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \\ q_1 q_2 = 8 \cdot 10^{-12} \text{ Кл}^2 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $q_1$ и $q_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - (q_1 + q_2)x + q_1 q_2 = 0$.

Подставим известные нам сумму и произведение зарядов:

$x^2 - (6 \cdot 10^{-6})x + 8 \cdot 10^{-12} = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-6 \cdot 10^{-6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 \cdot 10^{-12}) = 36 \cdot 10^{-12} - 32 \cdot 10^{-12} = 4 \cdot 10^{-12}$

Найдем корни уравнения, которые и будут значениями зарядов:

$q_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \cdot 10^{-6} + \sqrt{4 \cdot 10^{-12}}}{2} = \frac{6 \cdot 10^{-6} + 2 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{8 \cdot 10^{-6}}{2} = 4 \cdot 10^{-6}$ Кл

$q_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \cdot 10^{-6} - \sqrt{4 \cdot 10^{-12}}}{2} = \frac{6 \cdot 10^{-6} - 2 \cdot 10^{-6}}{2} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{2} = 2 \cdot 10^{-6}$ Кл

Переведем значения в микрокулоны:

$q_1 = 4$ мкКл

$q_2 = 2$ мкКл

Ответ: величины зарядов равны 2 мкКл и 4 мкКл.