Номер 510, страница 108 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

510. Два одинаковых металлических шарика притягиваются с некоторой силой. Шарики привели в соприкосновение и развели на расстояние в $n=2$ раза больше прежнего. При этом модуль силы взаимодействия между зарядами уменьшился в $k=5$ раз. Определите модуль заряда второго шарика до соприкосновения, если заряд первого шарика был $q_1 = 15 \text{ нКл}$.

Дано:

Отношение расстояний $n = r_2/r_1 = 2$

Отношение модулей сил $k = F_1/F_2 = 5$

Заряд первого шарика $q_1 = 15 \text{ нКл} = 15 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Модуль заряда второго шарика $|q_2|$

Решение:

Модуль силы электростатического взаимодействия (силы Кулона) между двумя точечными зарядами до соприкосновения определяется по формуле:

$F_1 = K \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2}$

где $K$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона, а $r_1$ — начальное расстояние между шариками.

По условию, шарики притягиваются, что означает, что их заряды $q_1$ и $q_2$ имеют противоположные знаки. Так как $q_1 = 15 \text{ нКл}$ — положительный заряд, заряд $q_2$ должен быть отрицательным ($q_2 < 0$). В этом случае произведение зарядов отрицательно, и модуль их произведения равен $|q_1 q_2| = q_1(-q_2) = -q_1 q_2$.

Таким образом, для модуля силы можно записать:

$F_1 = -K \frac{q_1 q_2}{r_1^2}$

После того как одинаковые металлические шарики привели в соприкосновение, их общий заряд $q_{общ} = q_1 + q_2$ распределился между ними поровну. Заряд каждого шарика стал равен:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

Затем шарики развели на новое расстояние $r_2 = n \cdot r_1$. Модуль силы взаимодействия между ними стал:

$F_2 = K \frac{|q' \cdot q'|}{r_2^2} = K \frac{(q')^2}{(n r_1)^2} = K \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{n^2 r_1^2} = K \frac{(q_1 + q_2)^2}{4 n^2 r_1^2}$

Из условия задачи известно, что модуль силы уменьшился в $k$ раз, то есть $F_1 = k \cdot F_2$. Составим уравнение, подставив выражения для сил:

$-K \frac{q_1 q_2}{r_1^2} = k \left( K \frac{(q_1 + q_2)^2}{4 n^2 r_1^2} \right)$

Сократим общие множители $K$ и $r_1^2$ с обеих сторон:

$-q_1 q_2 = \frac{k}{4n^2} (q_1 + q_2)^2$

Подставим известные числовые значения $n=2$ и $k=5$:

$-q_1 q_2 = \frac{5}{4 \cdot 2^2} (q_1 + q_2)^2 = \frac{5}{16} (q_1^2 + 2q_1 q_2 + q_2^2)$

Умножим обе части уравнения на 16 и приведем его к стандартному виду квадратного уравнения относительно $q_2$:

$-16q_1 q_2 = 5q_1^2 + 10q_1 q_2 + 5q_2^2$

$5q_2^2 + 26q_1 q_2 + 5q_1^2 = 0$

Для решения разделим уравнение на $q_1^2$ (поскольку $q_1 \neq 0$) и введем новую переменную $x = \frac{q_2}{q_1}$:

$5x^2 + 26x + 5 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:

$D = 26^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$

$x_{1,2} = \frac{-26 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 5} = \frac{-26 \pm 24}{10}$

Получаем два возможных значения для соотношения зарядов $x$:

$x_1 = \frac{-26 - 24}{10} = -5$

$x_2 = \frac{-26 + 24}{10} = -0.2$

Это дает два возможных значения для заряда $q_2$:

1. $q_2 = x_1 \cdot q_1 = -5 \cdot 15 \text{ нКл} = -75 \text{ нКл}$.

2. $q_2 = x_2 \cdot q_1 = -0.2 \cdot 15 \text{ нКл} = -3 \text{ нКл}$.

Оба решения удовлетворяют всем условиям задачи, так как в обоих случаях заряд $q_2$ отрицателен. Следовательно, задача имеет два возможных ответа для модуля заряда $|q_2|$:

$|q_2| = |-75 \text{ нКл}| = 75 \text{ нКл}$

$|q_2| = |-3 \text{ нКл}| = 3 \text{ нКл}$

Ответ: модуль заряда второго шарика до соприкосновения мог быть равен 3 нКл или 75 нКл.