Номер 506, страница 107 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

506. Два одинаковых по размеру одноименно заряженных маленьких металлических шарика находятся на расстоянии $r_1 = 30$ см друг от друга. Заряд одного шарика в $n = 9,0$ раза больше заряда другого. Шарики привели в соприкосновение и развели на расстояние $r_2$. Определите $r_2$, если сила взаимодействия между шариками осталась прежней.

Дано:

$r_1 = 30$ см

$n = 9,0$

$F_1 = F_2$

Перевод в СИ:

$r_1 = 0,3$ м

Найти:

$r_2$

Решение:

Пусть заряд одного шарика равен $q_2$, тогда заряд второго шарика, согласно условию, равен $q_1 = n \cdot q_2$. Так как шарики заряжены одноименно, их заряды имеют одинаковый знак.

Сила взаимодействия между шариками до их соприкосновения определяется по закону Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} = k \frac{n q_2 \cdot q_2}{r_1^2} = k \frac{n q_2^2}{r_1^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности.

Когда два одинаковых по размеру проводящих шарика приводят в соприкосновение, их суммарный заряд $q_{общ} = q_1 + q_2$ перераспределяется между ними поровну. Таким образом, заряд каждого шарика после соприкосновения становится равным $q'$:

$q' = \frac{q_1 + q_2}{2} = \frac{n q_2 + q_2}{2} = \frac{(n+1)q_2}{2}$

После того как шарики развели на новое расстояние $r_2$, сила взаимодействия между ними стала равна:

$F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r_2^2} = k \frac{(q')^2}{r_2^2} = k \frac{\left(\frac{(n+1)q_2}{2}\right)^2}{r_2^2} = k \frac{(n+1)^2 q_2^2}{4 r_2^2}$

По условию задачи, сила взаимодействия не изменилась, то есть $F_1 = F_2$. Приравняем полученные выражения для сил:

$k \frac{n q_2^2}{r_1^2} = k \frac{(n+1)^2 q_2^2}{4 r_2^2}$

Сократим общие множители $k$ и $q_2^2$ в обеих частях уравнения:

$\frac{n}{r_1^2} = \frac{(n+1)^2}{4 r_2^2}$

Теперь выразим из этого уравнения искомое расстояние $r_2$:

$r_2^2 = r_1^2 \frac{(n+1)^2}{4n}$

$r_2 = \sqrt{r_1^2 \frac{(n+1)^2}{4n}} = r_1 \frac{n+1}{2\sqrt{n}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$r_2 = 30 \text{ см} \cdot \frac{9,0+1}{2\sqrt{9,0}} = 30 \cdot \frac{10}{2 \cdot 3} = 30 \cdot \frac{10}{6} = 30 \cdot \frac{5}{3} = 50$ см.

Ответ: $r_2 = 50$ см.