Номер 507, страница 107 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

507. Расстояние между точечными положительными зарядами увеличили на $\Delta r = 24$ см, а величину каждого заряда увеличили в $n = 3,0$ раза. Определите первоначальное расстояние между зарядами, если сила взаимодействия зарядов не изменилась.

Дано:

$\Delta r = 24$ см

$n = 3.0$

$F_1 = F_2$ (сила взаимодействия не изменилась)

Перевод в систему СИ:

$\Delta r = 0.24$ м

Найти:

$r_1$

Решение:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами описывается законом Кулона:

$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности, $q_1$ и $q_2$ — величины зарядов, а $r$ — расстояние между ними.

Запишем выражение для силы взаимодействия в начальном состоянии (до изменений):

$F_1 = k \frac{|q_{1a} q_{1b}|}{r_1^2}$

где $q_{1a}$ и $q_{1b}$ — первоначальные величины зарядов, а $r_1$ — искомое первоначальное расстояние.

После изменений расстояние между зарядами стало $r_2 = r_1 + \Delta r$, а величины каждого из зарядов увеличились в $n$ раз, став равными $q_{2a} = n \cdot q_{1a}$ и $q_{2b} = n \cdot q_{1b}$.

Сила взаимодействия в конечном состоянии (после изменений) равна:

$F_2 = k \frac{|q_{2a} q_{2b}|}{r_2^2} = k \frac{|(n \cdot q_{1a}) (n \cdot q_{1b})|}{(r_1 + \Delta r)^2} = k \frac{n^2 |q_{1a} q_{1b}|}{(r_1 + \Delta r)^2}$

Согласно условию задачи, сила взаимодействия не изменилась, следовательно, $F_1 = F_2$. Приравняем правые части выражений для сил:

$k \frac{|q_{1a} q_{1b}|}{r_1^2} = k \frac{n^2 |q_{1a} q_{1b}|}{(r_1 + \Delta r)^2}$

Сократим одинаковые ненулевые множители ($k$ и $|q_{1a} q_{1b}|$) в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{r_1^2} = \frac{n^2}{(r_1 + \Delta r)^2}$

Преобразуем полученное уравнение:

$(r_1 + \Delta r)^2 = n^2 r_1^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку расстояние $r_1$ и коэффициент $n$ являются положительными величинами, мы рассматриваем только положительные значения корней:

$r_1 + \Delta r = n r_1$

Теперь выразим искомую величину $r_1$:

$\Delta r = n r_1 - r_1$

$\Delta r = r_1 (n - 1)$

$r_1 = \frac{\Delta r}{n - 1}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$r_1 = \frac{0.24 \text{ м}}{3.0 - 1} = \frac{0.24 \text{ м}}{2.0} = 0.12 \text{ м}$

Ответ: первоначальное расстояние между зарядами равно $0.12$ м (или $12$ см).