Номер 514, страница 109 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

514. Тонкая шелковая нить, на которой в вакууме подвешен маленький шарик массой $m = 600 \text{ мг}$ и зарядом $q_1 = 16 \text{ нКл}$, выдерживает максимальную силу натяжения, модуль которой $F = 10 \text{ мН}$. Снизу по одной вертикали к шарику подносят другой маленький шарик, заряд которого $q_2 = -9,0 \text{ нКл}$. Определите максимальное расстояние между шариками, при котором нить разорвется.

Дано:

$m = 600$ мг
$q_1 = 16$ нКл
$F = 10$ мН
$q_2 = -9,0$ нКл

Перевод в систему СИ:
$m = 600 \cdot 10^{-6} \text{ кг} = 6 \cdot 10^{-4} \text{ кг}$
$q_1 = 16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$F = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 10^{-2} \text{ Н}$
$q_2 = -9,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

$r$ - ?

Решение:

На верхний шарик, подвешенный на нити, в вертикальном направлении действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $T$, направленная вертикально вверх.

3. Сила электростатического взаимодействия (сила Кулона) $F_e$ со стороны нижнего шарика. Поскольку заряды шариков разноименные ($q_1 > 0$ и $q_2 < 0$), между ними действует сила притяжения. Так как второй шарик находится снизу, сила $F_e$, действующая на верхний шарик, направлена вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона для верхнего шарика в проекции на вертикальную ось, направленную вверх. В момент, предшествующий разрыву, шарик находится в равновесии, и сила натяжения нити достигает максимального значения $F$.

$T - F_g - F_e = 0$

В момент разрыва $T = F$, следовательно:

$F = F_g + F_e$

Сила тяжести равна $F_g = mg$. Сила Кулона определяется по закону Кулона: $F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ — электрическая постоянная, а $r$ — искомое расстояние между шариками.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$F = mg + k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Из этого уравнения выразим расстояние $r$. Сначала выразим член с силой Кулона:

$k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = F - mg$

Теперь выразим $r^2$:

$r^2 = \frac{k |q_1 q_2|}{F - mg}$

И, наконец, искомое расстояние $r$:

$r = \sqrt{\frac{k |q_1 q_2|}{F - mg}}$

Подставим числовые значения в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \, м/с^2$.

$mg = 6 \cdot 10^{-4} \text{ кг} \cdot 10 \frac{м}{с^2} = 6 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

$F - mg = 10^{-2} \text{ Н} - 6 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Н} - 6 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ Н}$

$k|q_1 q_2| = 9 \cdot 10^9 \cdot |16 \cdot 10^{-9} \cdot (-9,0 \cdot 10^{-9})| = 9 \cdot 10^9 \cdot 144 \cdot 10^{-18} = 1296 \cdot 10^{-9} = 1,296 \cdot 10^{-6} \text{ Н} \cdot м^2$

Теперь подставим все в формулу для $r$:

$r = \sqrt{\frac{1,296 \cdot 10^{-6} \text{ Н} \cdot м^2}{4 \cdot 10^{-3} \text{ Н}}} = \sqrt{0,324 \cdot 10^{-3} м^2} = \sqrt{3,24 \cdot 10^{-4} м^2}$

$r = 1,8 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $r = 1,8 \text{ см}$.

Ответ: максимальное расстояние между шариками, при котором нить разорвется, составляет $1,8 \cdot 10^{-2}$ м или $1,8$ см.