Номер 518, страница 109 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

518. На двух шелковых нитях равной длины в вакууме подвешен положительно заряженный шарик массой $m = 1,8 \text{ г}$ (рис. 89). Снизу к нему подносят другой такой же шарик с таким же зарядом. При этом модуль силы натяжения каждой нити уменьшается в $n = 2$ раза. Определите заряд каждого шарика, если расстояние между центрами шариков $r = 1,0 \text{ см}$.

Рис. 89

Дано:

$m = 1,8 \text{ г} = 1,8 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$n = 2$

$r = 1,0 \text{ см} = 1,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$q$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на верхний шарик в двух случаях.

1. До того, как поднесли второй шарик.

На шарик действуют сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и силы натяжения двух нитей $T_1$. Пусть каждая нить составляет с вертикалью угол $\alpha$. Шарик находится в равновесии, следовательно, сумма проекций всех сил на вертикальную ось равна нулю. Горизонтальные составляющие сил натяжения уравновешивают друг друга.

Условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$2T_1 \cos\alpha = mg$

Отсюда первоначальная сила натяжения каждой нити:

$T_1 = \frac{mg}{2 \cos\alpha}$

2. После того, как поднесли второй шарик.

К силе тяжести и силам натяжения нитей добавляется сила кулоновского отталкивания $F_e$, направленная вертикально вверх, так как заряды шариков одноименные (положительные). Сила натяжения каждой нити теперь равна $T_2$.

Условие равновесия в проекции на вертикальную ось в этом случае:

$2T_2 \cos\alpha + F_e = mg$

По закону Кулона, сила отталкивания равна:

$F_e = k \frac{q \cdot q}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

Из условия равновесия выразим новую силу натяжения $T_2$:

$T_2 = \frac{mg - F_e}{2 \cos\alpha}$

По условию задачи, сила натяжения уменьшилась в $n=2$ раза, то есть $T_2 = \frac{T_1}{n}$.

Подставим выражения для $T_1$ и $T_2$:

$\frac{mg - F_e}{2 \cos\alpha} = \frac{1}{n} \cdot \frac{mg}{2 \cos\alpha}$

Сократим одинаковые множители $(2 \cos\alpha)$ в обеих частях уравнения:

$mg - F_e = \frac{mg}{n}$

Выразим отсюда силу Кулона $F_e$:

$F_e = mg - \frac{mg}{n} = mg \left(1 - \frac{1}{n}\right) = mg \frac{n-1}{n}$

Теперь подставим формулу для силы Кулона:

$k \frac{q^2}{r^2} = mg \frac{n-1}{n}$

Выразим искомый заряд $q$:

$q^2 = \frac{mg r^2 (n-1)}{kn}$

$q = \sqrt{\frac{mg r^2 (n-1)}{kn}} = r \sqrt{\frac{mg(n-1)}{kn}}$

Подставим числовые значения:

$q = 1,0 \cdot 10^{-2} \cdot \sqrt{\frac{1,8 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot (2-1)}{9 \cdot 10^9 \cdot 2}} = 10^{-2} \cdot \sqrt{\frac{1,8 \cdot 10^{-2}}{18 \cdot 10^9}}$

$q = 10^{-2} \cdot \sqrt{0,1 \cdot 10^{-11}} = 10^{-2} \cdot \sqrt{1 \cdot 10^{-12}}$

$q = 10^{-2} \cdot 10^{-6} = 10^{-8} \text{ Кл}$

Ответ: $q = 10^{-8} \text{ Кл}$ (или 10 нКл).