Номер 523, страница 111 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

523. Вокруг точечного заряда $q_1 = 5,0 \text{ нКл}$ по окружности радиуса $r = 3,0 \text{ см}$ в вакууме вращается с угловой скоростью $\omega=5,0 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$ маленький отрицательно заряженный шарик. Определите отношение заряда шарика к его массе.

Дано:

$q_1 = 5,0 \text{ нКл}$

$r = 3,0 \text{ см}$

$\omega = 5,0 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электрическая постоянная)

$q_1 = 5,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$r = 3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$\frac{q_2}{m} - ?$

Решение:

Маленький отрицательно заряженный шарик (обозначим его заряд $q_2$, а массу $m$) вращается вокруг положительного точечного заряда $q_1$. Движение по окружности происходит под действием силы, которая сообщает телу центростремительное ускорение. В данном случае этой силой является сила электростатического притяжения (сила Кулона) между зарядами $q_1$ и $q_2$.

Согласно второму закону Ньютона, сила, вызывающая центростремительное ускорение, равна:

$F_ц = m a_ц$

Центростремительное ускорение $a_ц$ выражается через угловую скорость $\omega$ и радиус $r$ как:

$a_ц = \omega^2 r$

Следовательно, центростремительная сила равна:

$F_ц = m \omega^2 r$

Сила Кулона, действующая между двумя точечными зарядами, определяется по закону Кулона:

$F_К = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Поскольку сила Кулона является единственной силой, действующей на шарик и сообщающей ему центростремительное ускорение, мы можем приравнять эти две силы:

$F_ц = F_К$

$m \omega^2 r = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Наша цель — найти отношение $\frac{q_2}{m}$. Выразим из этого уравнения отношение модуля заряда к массе $\frac{|q_2|}{m}$:

$m \omega^2 r^3 = k |q_1 q_2|$

$\frac{|q_2|}{m} = \frac{\omega^2 r^3}{k |q_1|}$

Так как заряд $q_1$ положителен ($q_1 > 0$), то $|q_1| = q_1$.

$\frac{|q_2|}{m} = \frac{\omega^2 r^3}{k q_1}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$\frac{|q_2|}{m} = \frac{(5,0 \frac{\text{рад}}{\text{с}})^2 \cdot (3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^3}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 5,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}} = \frac{25 \cdot 27 \cdot 10^{-6}}{9 \cdot 5,0} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$

$\frac{|q_2|}{m} = \frac{675 \cdot 10^{-6}}{45} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}} = 15 \cdot 10^{-6} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}} = 1,5 \cdot 10^{-5} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$

По условию задачи шарик заряжен отрицательно, следовательно, $q_2 < 0$. Значит, искомое отношение заряда к массе будет отрицательным.

$\frac{q_2}{m} = -1,5 \cdot 10^{-5} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$

Ответ: искомое отношение заряда шарика к его массе равно $-1,5 \cdot 10^{-5} \frac{\text{Кл}}{\text{кг}}$.