Номер 528, страница 112 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

528. Два одинаковых заряженных шарика массой $m=5\sqrt{3} \text{ г}$ и зарядом $q=5,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$ каждый соединены двумя изолирующими невесомыми нитями длиной $l$ и $2l$. Длина короткой нити $l = 10 \text{ см}$. Удерживая систему за середину длинной нити, начинают эту систему поднимать вверх с ускорением, модуль которого $a=5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (рис. 92). Определите модуль силы натяжения короткой нити, соединяющей шарики, во время их подъема.

Рис. 92

Дано:
$m = 5\sqrt{3}$ г
$q = 5,0 \cdot 10^{-7}$ Кл
$l = 10$ см
$a = 5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:
$m = 5\sqrt{3} \cdot 10^{-3}$ кг
$l = 0,1$ м

Найти:
$T_{низ}$ - ?

Решение:

На шарики действуют следующие силы: сила тяжести ($m\vec{g}$), сила натяжения верхней нити ($T_{верх}$), сила натяжения нижней нити ($T_{низ}$) и сила Кулоновского отталкивания ($F_C$). Система движется с ускорением $\vec{a}$, направленным вертикально вверх. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков, например, на правый.

Из рисунка видно, что нити образуют равносторонний треугольник, так как все стороны равны $l$. Следовательно, все углы в треугольнике равны $60^\circ$. Угол, который верхняя нить образует с горизонталью, равен $\alpha = 60^\circ$.

Запишем второй закон Ньютона для правого шарика в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX – горизонтально вправо.

$\sum \vec{F} = m\vec{a}$

Проекция на ось OY:
$T_{верх} \sin\alpha - mg = ma$

Проекция на ось OX:
$F_C - T_{низ} - T_{верх} \cos\alpha = 0$

Из уравнения для оси OY выразим силу натяжения верхней нити $T_{верх}$:

$T_{верх} = \frac{m(g+a)}{\sin\alpha}$

Из уравнения для оси OX выразим искомую силу натяжения нижней нити $T_{низ}$:

$T_{низ} = F_C - T_{верх} \cos\alpha$

Подставим выражение для $T_{верх}$ в формулу для $T_{низ}$:

$T_{низ} = F_C - \frac{m(g+a)}{\sin\alpha} \cos\alpha = F_C - m(g+a)\cot\alpha$

Сила Кулоновского отталкивания $F_C$ вычисляется по формуле:

$F_C = k \frac{q^2}{l^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

Подставим все в одну формулу:

$T_{низ} = k \frac{q^2}{l^2} - m(g+a)\cot\alpha$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Вычислим значение силы Кулона:

$F_C = 9 \cdot 10^9 \frac{(5,0 \cdot 10^{-7})^2}{(0,1)^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{25 \cdot 10^{-14}}{10^{-2}} = 225 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0,225 \text{ Н}$.

Вычислим второе слагаемое. Учитывая, что $\alpha=60^\circ$, $\cot(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$:

$m(g+a)\cot\alpha = 5\sqrt{3} \cdot 10^{-3} \cdot (10 + 5,0) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 10^{-3} \cdot 15 = 75 \cdot 10^{-3} \text{ Н} = 0,075 \text{ Н}$.

Теперь найдем модуль силы натяжения короткой нити:

$T_{низ} = 0,225 \text{ Н} - 0,075 \text{ Н} = 0,15 \text{ Н}$.

Ответ: $0,15 \text{ Н}$.