Номер 521, страница 110 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

521. Маленький шарик массой $m = 2,0$ г и зарядом $q = -0,10$ мкКл висит в воздухе на тонкой шелковой невесомой нити. На одной горизонтали с шариком расположен точечный заряд $q_0 = -20$ нКл. Определите угол между нитью и вертикалью, если расстояние между шариком и точечным зарядом $r = 3,0$ см.

Рис. 91

Дано:

Масса шарика $m = 2,0$ г
Заряд шарика $q = -0,10$ мкКл
Точечный заряд $q_0 = -20$ нКл
Расстояние между зарядами $r = 3,0$ см
Постоянная Кулона $k = 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$m = 2,0 \cdot 10^{-3}$ кг
$q = -0,10 \cdot 10^{-6}$ Кл $= -1,0 \cdot 10^{-7}$ Кл
$q_0 = -20 \cdot 10^{-9}$ Кл $= -2,0 \cdot 10^{-8}$ Кл
$r = 3,0 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Угол отклонения нити от вертикали $\alpha$.

Решение:

Шарик находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю. На шарик действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз; сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити; и сила электростатического взаимодействия (Кулона) $\vec{F_e}$.

Так как оба заряда ($q$ и $q_0$) отрицательные, они отталкиваются. По условию, точечный заряд $q_0$ расположен на одной горизонтали с шариком, поэтому сила Кулона $\vec{F_e}$ направлена горизонтально.

Запишем условие равновесия в векторной форме:

$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_e} = 0$

Для решения задачи спроецируем силы на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX горизонтально в сторону отталкивания шарика.

Проекции на оси:

OX: $F_e - T \sin\alpha = 0 \implies F_e = T \sin\alpha$

OY: $T \cos\alpha - F_g = 0 \implies F_g = T \cos\alpha$

Чтобы найти угол $\alpha$, разделим первое уравнение на второе. Это позволит исключить неизвестную силу натяжения нити $T$:

$\frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{F_e}{F_g}$

$\tan\alpha = \frac{F_e}{F_g} = \frac{F_e}{mg}$

Теперь рассчитаем значения сил.

Модуль силы Кулона:

$F_e = k \frac{|q \cdot q_0|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{|(-1,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}) \cdot (-2,0 \cdot 10^{-8} \text{ Кл})|}{(3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2}$

$F_e = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{2,0 \cdot 10^{-15}}{9,0 \cdot 10^{-4}} \text{ Н} = 2,0 \cdot 10^{-2}$ Н $= 0,02$ Н

Модуль силы тяжести:

$F_g = m g = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0,0196$ Н

Подставим значения сил в формулу для тангенса угла:

$\tan\alpha = \frac{0,02 \text{ Н}}{0,0196 \text{ Н}} \approx 1,0204$

Теперь найдем сам угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(1,0204) \approx 45,58^\circ$

С учетом значащих цифр в условии задачи, округлим результат до целых.

$\alpha \approx 46^\circ$

Ответ: $\alpha \approx 46^\circ$.