Номер 527, страница 112 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

527. Маленький шарик массой $m$ и зарядом $q$, подвешенный на непроводящей нити длиной $l$, вращается в вакууме вокруг вертикальной оси так, что нить образует с вертикалью угол $\alpha$. Определите модуль силы натяжения нити, если в точке подвеса нити находится еще один неподвижный точечный заряд $q$.

Дано:

Масса шарика: $m$

Заряд шарика: $q$

Заряд в точке подвеса: $q$

Длина нити: $l$

Угол нити с вертикалью: $\alpha$

Найти:

Модуль силы натяжения нити: $T$

Решение:

На шарик, вращающийся по окружности в горизонтальной плоскости, действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

3. Сила Кулона $\vec{F_e}$, представляющая собой силу электростатического отталкивания от одноименного заряда $q$, находящегося в точке подвеса. Эта сила направлена вдоль нити от точки подвеса. Модуль силы Кулона определяется по формуле:

$F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q| \cdot |q|}{l^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Шарик движется по горизонтальной окружности, что является движением с ускорением. Это ускорение — центростремительное $\vec{a}_c$, и оно направлено горизонтально к центру окружности (к вертикальной оси вращения). Так как движение происходит в горизонтальной плоскости, вертикальная составляющая ускорения равна нулю.

Для решения задачи применим второй закон Ньютона. Запишем его в проекциях на оси координат. Направим ось OY вертикально вверх, а ось OX — горизонтально к центру окружности.

Так как по вертикали шарик не движется, сумма проекций всех сил на ось OY равна нулю:

$\sum F_y = 0$

Проекции сил на ось OY:

• Сила натяжения: $T_y = T \cos\alpha$
• Сила тяжести: $F_{gy} = -mg$
• Сила Кулона: $F_{ey} = -F_e \cos\alpha$

Запишем уравнение для оси OY:

$T \cos\alpha - mg - F_e \cos\alpha = 0$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить T:

$(T - F_e) \cos\alpha = mg$

$T - F_e = \frac{mg}{\cos\alpha}$

$T = \frac{mg}{\cos\alpha} + F_e$

Теперь подставим выражение для модуля силы Кулона:

$T = \frac{mg}{\cos\alpha} + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2}$

Это и есть искомая сила натяжения нити. Уравнение для горизонтальной оси OX ($T \sin\alpha - F_e \sin\alpha = ma_c$) позволило бы найти скорость вращения шарика, но это не требуется по условию задачи.

Ответ: $T = \frac{mg}{\cos\alpha} + \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 l^2}$.