Номер 526, страница 111 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

526. Подвешенный на непроводящей нити шарик массой $m = 1,0 \text{ г}$ имеет заряд $q = 3 \text{ нКл}$ и движется в горизонтальной плоскости по окружности радиусом $r = 3,0 \text{ см}$ с угловой скоростью $\omega_1 = 2,0 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$. В центр окружности поместили шар с таким же зарядом. Определите, какой должна стать угловая скорость вращения шарика, чтобы радиус окружности не изменился.

Дано:

$m = 1,0 \text{ г}$

$q = 3 \text{ нКл}$

$r = 3,0 \text{ см}$

$\omega_1 = 2,0 \text{ рад/с}$

$m = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$q = 3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$r = 3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$\omega_2$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение шарика в двух случаях.

1. Изначальное движение (без заряда в центре).

Шарик движется по окружности в горизонтальной плоскости, представляя собой конический маятник. На него действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вдоль нити. Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную (ось Y) и горизонтальную (ось X, направлена к центру окружности) оси.

На ось Y (условие равновесия по вертикали):

$T_1 \cos\alpha - mg = 0 \implies T_1 \cos\alpha = mg \quad (1)$

На ось X (центростремительное ускорение):

$T_1 \sin\alpha = m a_{c1} \implies T_1 \sin\alpha = m \omega_1^2 r \quad (2)$

Горизонтальная составляющая силы натяжения нити $T_{1x} = T_1 \sin\alpha$ является центростремительной силой.

2. Движение после помещения в центр окружности второго заряда $q$.

На шарик начинает действовать дополнительная сила — сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $F_e$, направленная радиально от центра окружности, так как заряды одноименные. Ее величина:

$F_e = k \frac{q^2}{r^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — постоянная в законе Кулона.

По условию, радиус окружности $r$ не изменился. Поскольку точка подвеса нити не менялась, высота плоскости вращения также осталась прежней. Это означает, что угол наклона нити $\alpha$ не изменился.

Новое уравнение для вертикальной оси с новой силой натяжения $T_2$:

$T_2 \cos\alpha = mg \quad (3)$

Сравнивая уравнения (1) и (3), видим, что $T_1 \cos\alpha = T_2 \cos\alpha$, следовательно, $T_1 = T_2 = T$. Сила натяжения нити не изменилась.

Новое уравнение для горизонтальной оси. Теперь центростремительная сила создается разностью горизонтальной составляющей силы натяжения и силы Кулона:

$T \sin\alpha - F_e = m a_{c2} \implies T \sin\alpha - F_e = m \omega_2^2 r \quad (4)$

Из уравнения (2) мы знаем, что $T \sin\alpha = m \omega_1^2 r$. Подставим это выражение в уравнение (4):

$m \omega_1^2 r - F_e = m \omega_2^2 r$

Подставим выражение для силы Кулона $F_e$:

$m \omega_1^2 r - k \frac{q^2}{r^2} = m \omega_2^2 r$

Выразим квадрат новой угловой скорости $\omega_2^2$, разделив все уравнение на $mr$:

$\omega_2^2 = \omega_1^2 - \frac{k q^2}{m r^3}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$\omega_2^2 = (2,0)^2 - \frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (3 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})^2}{1,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot (3,0 \cdot 10^{-2} \text{ м})^3} = 4 - \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 9 \cdot 10^{-18}}{10^{-3} \cdot 27 \cdot 10^{-6}} = 4 - \frac{81 \cdot 10^{-9}}{27 \cdot 10^{-9}} = 4 - 3 = 1 \text{ (рад/с)}^2$

Отсюда находим угловую скорость:

$\omega_2 = \sqrt{1} = 1,0 \text{ рад/с}$

Ответ: угловая скорость вращения шарика должна стать $1,0 \text{ рад/с}$.