Номер 520, страница 110 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

520. Маленький шарик массой $m = 4 \text{ г}$, заряженный положительным зарядом $q_1 = 16 \text{ нКл}$, подвешен в воздухе на невесомой непроводящей упругой нити. Когда к шарику приблизили другой отрицательно заряженный шарик с зарядом $q_2$, нить отклонилась на угол $\alpha = 45^\circ$ от вертикали, а расстояние между шариками стало $r = 6 \text{ см}$ (рис. 90). Определите заряд $q_2$.

Рис. 90

Дано:

$m = 4 \text{ г} = 4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

$q_1 = 16 \text{ нКл} = 16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$\alpha = 45^\circ$

$r = 6 \text{ см} = 6 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Найти:

$q_2$

Решение:

На заряженный шарик с зарядом $q_1$ действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити, и сила Кулона $\vec{F_C}$ со стороны второго шарика, направленная горизонтально вправо (так как заряды разноименные, они притягиваются).

Поскольку шарик находится в равновесии, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{T} + \vec{F_g} + \vec{F_C} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально вправо.

Проекция на ось OX:

$T_x - F_C = 0 \implies T \sin \alpha = F_C$

Проекция на ось OY:

$T_y - F_g = 0 \implies T \cos \alpha = F_g$

Получаем систему из двух уравнений:

$T \sin \alpha = F_C$ (1)

$T \cos \alpha = mg$ (2)

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы исключить силу натяжения нити $T$:

$\frac{T \sin \alpha}{T \cos \alpha} = \frac{F_C}{mg}$

$\tan \alpha = \frac{F_C}{mg}$

Сила Кулона $F_C$ определяется по закону Кулона:

$F_C = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — коэффициент пропорциональности.

Подставим выражение для силы Кулона в предыдущую формулу:

$\tan \alpha = \frac{k |q_1 q_2|}{mg r^2}$

Выразим из этого уравнения модуль заряда $q_2$:

$|q_2| = \frac{mg r^2 \tan \alpha}{k q_1}$

Подставим числовые значения. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$|q_2| = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (6 \cdot 10^{-2} \text{ м})^2 \cdot \tan 45^\circ}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot 16 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}$

Так как $\tan 45^\circ = 1$:

$|q_2| = \frac{4 \cdot 10^{-3} \cdot 10 \cdot 36 \cdot 10^{-4}}{9 \cdot 10^9 \cdot 16 \cdot 10^{-9}} = \frac{1440 \cdot 10^{-7}}{144} = 10 \cdot 10^{-7} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

$|q_2| = 1 \text{ мкКл}$

По условию задачи, шарик с зарядом $q_2$ заряжен отрицательно. Следовательно, $q_2 = -1 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$.

Ответ: заряд второго шарика $q_2 = -1 \text{ мкКл}$.