Номер 513, страница 108 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

513. Шарик массой $m = 90 \text{ мг}$, находящийся в вакууме, подвешен на непроводящей нити и имеет заряд $q_1 = 10 \text{ нКл}$. После того как под шариком на расстоянии $r = 10 \text{ см}$ от него поместили точечный заряд другого знака, сила натяжения нити увеличилась вдвое. Определите модуль точечного заряда.

Дано:

$m = 90 \text{ мг} = 90 \times 10^{-6} \text{ кг}$
$q_1 = 10 \text{ нКл} = 10 \times 10^{-9} \text{ Кл}$
$r = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$
$T_2 = 2T_1$

Найти:

$|q_2|$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на шарик в начальном состоянии, когда он просто висит на нити. На него действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вертикально вверх. Поскольку шарик находится в состоянии покоя, эти силы уравновешивают друг друга. Запишем условие равновесия:

$T_1 = F_g = mg$

После того как под шариком на расстоянии $r$ поместили точечный заряд $q_2$ другого знака, на шарик начала действовать дополнительная сила — сила электростатического притяжения (сила Кулона) $F_e$. Так как заряды разноименные, сила $F_e$ направлена вертикально вниз, в сторону второго заряда.

В новом положении равновесия на шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g$ (вниз), сила Кулона $F_e$ (вниз) и новая сила натяжения нити $T_2$ (вверх). Условие равновесия для этого случая:

$T_2 = F_g + F_e$

По условию задачи, сила натяжения нити увеличилась вдвое, то есть $T_2 = 2T_1$. Подставим в это соотношение выражения для $T_1$ и $T_2$ из уравнений равновесия:

$mg + F_e = 2(mg)$

Из этого уравнения можно найти силу Кулона:

$F_e = 2mg - mg = mg$

Сила Кулона по модулю оказалась равна силе тяжести. Сила Кулона определяется законом Кулона:

$F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

где $k \approx 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — электростатическая постоянная.

Приравняем два полученных выражения для силы $F_e$:

$k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = mg$

Теперь выразим модуль искомого заряда $|q_2|$:

$|q_2| = \frac{mg r^2}{k |q_1|}$

Подставим числовые значения в системе СИ, приняв ускорение свободного падения $g \approx 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$:

$|q_2| = \frac{(90 \times 10^{-6} \text{ кг}) \cdot (9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) \cdot (0.1 \text{ м})^2}{(9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot (10 \times 10^{-9} \text{ Кл})} = \frac{90 \times 10^{-6} \cdot 9.8 \cdot 0.01}{90} \text{ Кл} = 9.8 \times 10^{-8} \text{ Кл}$

Для удобства переведем результат в нанокулоны:

$9.8 \times 10^{-8} \text{ Кл} = 98 \times 10^{-9} \text{ Кл} = 98 \text{ нКл}$

Ответ: модуль точечного заряда равен $98 \text{ нКл}$.