Номер 509, страница 108 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

509. Два маленьких проводящих одинаковых по размерам шарика, находясь в воздухе, притягиваются друг к другу с силой, модуль которой $F_1 = 1,6$ мкН. Модуль заряда одного из шариков в $n = 4,0$ раза больше модуля заряда другого шарика. Определите модуль силы, с которой будут отталкиваться шарики, если их привести в соприкосновение и снова развести на прежнее расстояние.

Дано:

$F_1 = 1,6 \text{ мкН} = 1,6 \cdot 10^{-6} \text{ Н}$

$n = 4,0$

Найти:

$F_2$

Решение:

Пусть $q_1$ и $q_2$ — начальные заряды шариков, а $r$ — расстояние между ними.По условию, модуль заряда одного шарика в $n$ раз больше модуля заряда другого:

$|q_1| = n|q_2|$

Поскольку шарики притягиваются, их заряды имеют противоположные знаки. Пусть $|q_2| = q$, тогда $|q_1| = nq$. Запишем заряды с учетом их знаков: $q_2 = q$ и $q_1 = -nq$ (выбор знаков не повлияет на конечный результат).

Сила притяжения между шариками до соприкосновения определяется законом Кулона:

$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|(-nq) \cdot q|}{r^2} = k \frac{nq^2}{r^2}$

где $k$ — электростатическая постоянная.

При соприкосновении двух одинаковых проводящих шариков их суммарный заряд перераспределяется между ними поровну. Суммарный заряд шариков:

$Q = q_1 + q_2 = -nq + q = q(1-n)$

После соприкосновения заряд каждого шарика станет равен $q'$:

$q' = \frac{Q}{2} = \frac{q(1-n)}{2}$

Так как $n=4,0$, то $1-n = -3$. Заряды обоих шариков после соприкосновения станут одинаковыми ($q'_1 = q'_2 = q'$) и одного знака, поэтому шарики будут отталкиваться. Модуль силы отталкивания $F_2$ на том же расстоянии $r$ будет равен:

$F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r^2} = k \frac{(q')^2}{r^2} = k \frac{\left(\frac{q(1-n)}{2}\right)^2}{r^2} = k \frac{q^2(1-n)^2}{4r^2}$

Для нахождения $F_2$ выразим $F_2$ через $F_1$. Из формулы для $F_1$ выразим комбинацию $k \frac{q^2}{r^2}$:

$k \frac{q^2}{r^2} = \frac{F_1}{n}$

Теперь подставим это выражение в формулу для $F_2$:

$F_2 = \frac{(1-n)^2}{4} \cdot \left(k \frac{q^2}{r^2}\right) = \frac{(1-n)^2}{4} \cdot \frac{F_1}{n}$

Учитывая, что $(1-n)^2 = (n-1)^2$, получаем:

$F_2 = F_1 \frac{(n-1)^2}{4n}$

Подставим числовые значения:

$F_2 = 1,6 \cdot 10^{-6} \text{ Н} \cdot \frac{(4,0-1)^2}{4 \cdot 4,0} = 1,6 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{3^2}{16} = 1,6 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{9}{16}$

$F_2 = 0,1 \cdot 10^{-6} \cdot 9 = 0,9 \cdot 10^{-6} \text{ Н} = 0,9 \text{ мкН}$

Ответ: модуль силы, с которой будут отталкиваться шарики, равен $0,9 \text{ мкН}$.