Номер 515, страница 109 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

515. Два одинаковых небольших проводящих шарика массой $m = 0,45$ г каждый подвешены на невесомых вертикальных нитях одинаковой длины $l = 30$ см так, что их поверхности соприкасаются. После того как системе сообщили заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол $\varphi = 60^{\circ}$. Определите заряд, сообщенный системе.

Дано:

$ m = 0,45 $ г (масса каждого шарика)

$ l = 30 $ см (длина каждой нити)

$ φ = 60° $ (угол между нитями)

$ k = 9 \cdot 10^9 $ Н·м²/Кл² (постоянная Кулона)

$ g \approx 9,8 $ м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:

$ m = 0,45 \cdot 10^{-3} $ кг

$ l = 0,3 $ м

Найти:

$ Q $ — общий заряд, сообщенный системе.

Решение:

После того как системе сообщили заряд $ Q $, он равномерно распределился между двумя одинаковыми проводящими шариками. Таким образом, заряд каждого шарика стал равен $ q = Q/2 $.

Шарики оттолкнулись друг от друга силой Кулона и заняли положение равновесия. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков (например, правый):

1. Сила тяжести $ F_{т} = mg $, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения нити $ T $, направленная вдоль нити.
3. Сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $ F_{e} $, направленная горизонтально.

В положении равновесия векторная сумма всех сил, действующих на шарик, равна нулю:

$ \vec{T} + \vec{F_{т}} + \vec{F_{e}} = 0 $

Нити образуют между собой угол $ φ = 60° $. Каждая нить отклонится от вертикали на угол $ \alpha = \frac{φ}{2} = \frac{60°}{2} = 30° $.

Расстояние $ r $ между центрами шариков можно найти из геометрии. Два шарика и точка подвеса образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $ l $ и углом при вершине $ φ = 60° $. Такой треугольник является равносторонним, следовательно, расстояние между шариками равно длине нити:

$ r = l = 0,3 $ м

Запишем условие равновесия в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси:

Ось Y: $ T \cos{\alpha} - mg = 0 \Rightarrow T \cos{\alpha} = mg $ (1)

Ось X: $ T \sin{\alpha} - F_{e} = 0 \Rightarrow T \sin{\alpha} = F_{e} $ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1), чтобы исключить силу натяжения $ T $:

$ \frac{T \sin{\alpha}}{T \cos{\alpha}} = \frac{F_{e}}{mg} $

$ \tan{\alpha} = \frac{F_{e}}{mg} $

Отсюда выразим силу Кулона:

$ F_{e} = mg \tan{\alpha} $

Сила Кулона определяется по закону Кулона:

$ F_{e} = k \frac{q \cdot q}{r^2} = k \frac{q^2}{l^2} $ (так как $ r=l $)

Приравняем два выражения для силы $ F_{e} $:

$ k \frac{q^2}{l^2} = mg \tan{\alpha} $

Выразим заряд одного шарика $ q $:

$ q^2 = \frac{mgl^2\tan{\alpha}}{k} $

$ q = \sqrt{\frac{mgl^2\tan{\alpha}}{k}} = l\sqrt{\frac{mg\tan{\alpha}}{k}} $

Подставим числовые значения:

$ \tan{30^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0,577 $

$ q = 0,3 \cdot \sqrt{\frac{0,45 \cdot 10^{-3} \cdot 9,8 \cdot \tan{30^{\circ}}}{9 \cdot 10^9}} \approx 0,3 \cdot \sqrt{\frac{2,54 \cdot 10^{-3}}{9 \cdot 10^9}} \approx 0,3 \cdot \sqrt{0,282 \cdot 10^{-12}} $

$ q \approx 0,3 \cdot 0,531 \cdot 10^{-6} \approx 0,159 \cdot 10^{-6} $ Кл

Общий заряд, сообщенный системе, равен $ Q = 2q $:

$ Q = 2 \cdot 0,159 \cdot 10^{-6} \approx 0,318 \cdot 10^{-6} $ Кл

Округляя до двух значащих цифр, получаем $ 0,32 \cdot 10^{-6} $ Кл или 0,32 мкКл.

Ответ: Заряд, сообщенный системе, равен $ 0,32 \cdot 10^{-6} $ Кл (0,32 мкКл).