Номер 517, страница 109 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

517. Два маленьких шарика массой $m = 6{,}0 \text{ г}$ каждый подвешены в вакууме на непроводящих легких нитях равной длины $l = 13 \text{ см}$. Свободные концы нитей закреплены в одной точке. Какой заряд надо сообщить каждому шарику, чтобы они разошлись на расстояние $r = 24 \text{ см}$?

Дано:

$m = 6,0 \text{ г}$

$l = 13 \text{ см}$

$r = 24 \text{ см}$

$k = 9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2$ (электрическая постоянная)

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Перевод в СИ:
$m = 6,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$l = 0,13 \text{ м}$
$r = 0,24 \text{ м}$

Найти:

$q$ - ?

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы:

1. Сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити к точке подвеса.

3. Сила Кулона $F_к$, действующая со стороны второго шарика и направленная горизонтально.

Поскольку шарик находится в равновесии, векторная сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Запишем это условие в проекциях на горизонтальную (ось OX) и вертикальную (ось OY) оси. Пусть $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.

Проекция на ось OY: $T \cos\alpha - mg = 0 \implies T \cos\alpha = mg$

Проекция на ось OX: $T \sin\alpha - F_к = 0 \implies T \sin\alpha = F_к$

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{T \sin\alpha}{T \cos\alpha} = \frac{F_к}{mg} \implies \tan\alpha = \frac{F_к}{mg}$

Из геометрии системы видно, что шарики и точка подвеса образуют равнобедренный треугольник. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный нитью (гипотенуза $l$), вертикалью и половиной расстояния между шариками (катет $r/2$).

Высота $h$, опущенная из точки подвеса на линию, соединяющую шарики (второй катет), по теореме Пифагора равна:

$h = \sqrt{l^2 - (r/2)^2}$

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan\alpha = \frac{r/2}{h} = \frac{r/2}{\sqrt{l^2 - (r/2)^2}}$

Сила Кулоновского отталкивания между двумя одинаковыми зарядами $q$ на расстоянии $r$ равна:

$F_к = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{q^2}{r^2}$

Подставим выражения для $\tan\alpha$ и $F_к$ в условие равновесия:

$\frac{k q^2}{mg r^2} = \frac{r/2}{\sqrt{l^2 - (r/2)^2}}$

Отсюда выразим искомый заряд $q$:

$q^2 = \frac{mg r^3}{2k \sqrt{l^2 - (r/2)^2}}$

$q = \sqrt{\frac{mg r^3}{2k \sqrt{l^2 - r^2/4}}}$

Проведем вычисления. Сначала найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{(0,13 \text{ м})^2 - (0,24 \text{ м}/2)^2} = \sqrt{(0,13)^2 - (0,12)^2} \text{ м} = \sqrt{0,0169 - 0,0144} \text{ м} = \sqrt{0,0025} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$

Теперь найдем тангенс угла:

$\tan\alpha = \frac{r/2}{h} = \frac{0,12 \text{ м}}{0,05 \text{ м}} = 2,4$

Найдем силу Кулона:

$F_к = mg \tan\alpha = (6,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}) \cdot (9,8 \text{ м/с}^2) \cdot 2,4 = 0,14112 \text{ Н}$

Теперь из формулы для силы Кулона найдем заряд:

$q = \sqrt{\frac{F_к r^2}{k}} = \sqrt{\frac{0,14112 \text{ Н} \cdot (0,24 \text{ м})^2}{9 \cdot 10^9 \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2}} = \sqrt{\frac{0,14112 \cdot 0,0576}{9 \cdot 10^9}} \text{ Кл} \approx \sqrt{0,903 \cdot 10^{-12}} \text{ Кл}$

$q \approx 0,95 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Это значение можно записать как $0,95 \text{ мкКл}$. Заряды должны быть одного знака (оба положительные или оба отрицательные).

Ответ: каждому шарику надо сообщить заряд, модуль которого равен $q \approx 0,95 \text{ мкКл}$.