Номер 516, страница 109 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

516. Два одинаковых маленьких шарика массой $m = 80 \text{ г}$ каждый подвешены в вакууме на невесомых нитях равной длины $l = 30 \text{ см}$. Свободные концы нитей закреплены в одной точке. Какой заряд надо сообщить каждому шарику, чтобы нити разошлись под прямым углом друг к другу?

Дано:

$m = 80 \text{ г} = 0.08 \text{ кг}$

$l = 30 \text{ см} = 0.3 \text{ м}$

$\alpha = 90^\circ$ (угол между нитями)

$k = 9 \cdot 10^9 \frac{Н \cdot м^2}{Кл^2}$ (коэффициент в законе Кулона)

$g \approx 9.8 \frac{м}{с^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$q$ - заряд каждого шарика.

Решение:

Рассмотрим один из шариков в положении равновесия. На него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити к точке подвеса, и сила электростатического отталкивания (сила Кулона) $\vec{F_e}$, направленная горизонтально от другого шарика.

Так как шарики находятся в равновесии, векторная сумма всех действующих на них сил равна нулю:$\vec{T} + m\vec{g} + \vec{F_e} = 0$

Поскольку угол между нитями равен $90^\circ$, каждая нить отклонена от вертикали на угол $\theta = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Запишем условие равновесия в проекциях на горизонтальную (ось X) и вертикальную (ось Y) оси:

Ось Y: $T \cos\theta - mg = 0$

Ось X: $F_e - T \sin\theta = 0$

Из первого уравнения выразим силу натяжения нити $T$:$T = \frac{mg}{\cos\theta}$

Подставим это выражение во второе уравнение:$F_e = \frac{mg}{\cos\theta} \sin\theta = mg \tan\theta$

Так как $\theta = 45^\circ$, то $\tan\theta = \tan(45^\circ) = 1$. Следовательно, $F_e = mg$.

Сила Кулона определяется по формуле $F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$. Поскольку заряды шариков одинаковы ($q_1 = q_2 = q$), то $F_e = k \frac{q^2}{r^2}$.Расстояние $r$ между шариками найдем из геометрии. Шарики и точка подвеса образуют равнобедренный прямоугольный треугольник. Расстояние от точки подвеса до каждого шарика по горизонтали равно $l \sin\theta$. Тогда расстояние между шариками:$r = 2l \sin\theta = 2 \cdot 0.3 \cdot \sin(45^\circ) = 2 \cdot 0.3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.3\sqrt{2} \text{ м}$.

Приравняем два выражения для силы Кулона:$k \frac{q^2}{r^2} = mg$

Выразим отсюда $q^2$:$q^2 = \frac{mg r^2}{k}$

Подставим выражение для $r$:$q^2 = \frac{mg (2l^2 \sin^2\theta)}{k} = \frac{mg (l \sqrt{2})^2}{k} = \frac{2mgl^2}{k}$

Теперь можем найти модуль заряда $q$:$|q| = \sqrt{\frac{2mgl^2}{k}} = l \sqrt{\frac{2mg}{k}}$

Подставим числовые значения:$|q| = 0.3 \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 0.08 \cdot 9.8}{9 \cdot 10^9}} \approx 0.3 \cdot \sqrt{\frac{1.568}{9 \cdot 10^9}} \approx 0.3 \cdot \sqrt{1.742 \cdot 10^{-10}} \approx 0.3 \cdot 1.32 \cdot 10^{-5} \approx 0.396 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}$

Округлим результат до двух значащих цифр:$|q| \approx 4.0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 4.0 \text{ мкКл}$

Чтобы шарики отталкивались, их заряды должны быть одноименными, то есть либо оба положительные, либо оба отрицательные.

Ответ: каждому шарику надо сообщить заряд, модуль которого равен $4.0 \cdot 10^{-6}$ Кл (или $4.0$ мкКл). Заряды должны быть одного знака ($q_1 = q_2 = 4.0$ мкКл или $q_1 = q_2 = -4.0$ мкКл).