Номер 532, страница 113 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

532. Маленькие шарики массой $m = 10 \text{ г}$ каждый имеют одинаковые по модулю и противоположные по знаку заряды $|q_1| = |q_2| = 1,0 \text{ мкКл}$ (рис. 93). Один из шариков подвешен на невесомой непроводящей пружине жесткостью $k_{\text{п}} = 10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$ над другим шариком, который удерживается в равновесии шелковой нерастяжимой нитью. В начальном положении модуль силы кулоновского взаимодействия между шариками равен $4mg$. Прикладывая силу к верхнему концу пружины (точка $O$), ее медленно поднимают. На какое минимальное расстояние нужно переместить вертикально вверх точку $O$, чтобы натяжение нити, удерживающей второй шарик, стало равным нулю?

Рис. 93

Дано:

$m = 10 \text{ г}$

$|q_1| = |q_2| = q = 1.0 \text{ мкКл}$

$k_п = 10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$F_{k1} = 4mg$ (в начальном положении)

$T_2 = 0$ (в конечном положении)

Перевод в систему СИ:

$m = 0.01 \text{ кг}$

$q = 1.0 \times 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$\Delta y_O$ — минимальное расстояние, на которое нужно переместить точку O.

Решение:

Рассмотрим два состояния системы: начальное (до перемещения) и конечное (когда натяжение нити равно нулю). Перемещение точки O происходит медленно, поэтому в каждый момент времени система находится в равновесии.

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.

Заряды разноименные, поэтому шарики притягиваются друг к другу.

1. Начальное состояние.

Рассмотрим равновесие верхнего шарика (с зарядом $q_1$). На него действуют три силы, направленные вдоль вертикальной оси: сила тяжести $mg$ (вниз), сила кулоновского притяжения $F_{k1}$ со стороны нижнего шарика (вниз) и сила упругости пружины $F_{упр1}$ (вверх).

Условие равновесия для шарика $q_1$:

$F_{упр1} = mg + F_{k1}$

По условию, $F_{k1} = 4mg$. Подставим это в уравнение:

$F_{упр1} = mg + 4mg = 5mg$

Сила упругости связана с удлинением пружины $\Delta x_1$ по закону Гука: $F_{упр1} = k_п \Delta x_1$. Отсюда найдем начальное удлинение пружины:

$\Delta x_1 = \frac{F_{упр1}}{k_п} = \frac{5mg}{k_п} = \frac{5 \times 0.01 \text{ кг} \times 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}{10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0.05 \text{ м}$.

Теперь найдем начальное расстояние $r_1$ между шариками из закона Кулона:

$F_{k1} = k_e \frac{q^2}{r_1^2}$, где $k_e = 9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$.

$r_1 = \sqrt{\frac{k_e q^2}{F_{k1}}} = \sqrt{\frac{k_e q^2}{4mg}} = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \times (1.0 \times 10^{-6} \text{ Кл})^2}{4 \times 0.01 \text{ кг} \times 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}} = \sqrt{\frac{9 \times 10^{-3}}{0.4}} = \sqrt{0.0225} = 0.15 \text{ м}$.

2. Конечное состояние.

В конечном состоянии натяжение нити $T_2$, удерживающей нижний шарик, становится равным нулю. Рассмотрим равновесие нижнего шарика (с зарядом $q_2$). На него действуют две силы: сила тяжести $mg$ (вниз) и сила кулоновского притяжения $F_{k2}$ со стороны верхнего шарика (вверх).

Условие равновесия для шарика $q_2$ при $T_2=0$:

$F_{k2} = mg$

$F_{k2} = 0.01 \text{ кг} \times 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 0.1 \text{ Н}$.

Теперь найдем конечное расстояние $r_2$ между шариками:

$r_2 = \sqrt{\frac{k_e q^2}{F_{k2}}} = \sqrt{\frac{k_e q^2}{mg}} = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \times (1.0 \times 10^{-6} \text{ Кл})^2}{0.1 \text{ Н}}} = \sqrt{\frac{9 \times 10^{-3}}{0.1}} = \sqrt{0.09} = 0.3 \text{ м}$.

Рассмотрим равновесие верхнего шарика $q_1$ в конечном состоянии. На него действуют силы: $mg$ (вниз), $F_{k2}$ (вниз) и $F_{упр2}$ (вверх).

$F_{упр2} = mg + F_{k2} = mg + mg = 2mg$

Найдем конечное удлинение пружины $\Delta x_2$:

$\Delta x_2 = \frac{F_{упр2}}{k_п} = \frac{2mg}{k_п} = \frac{2 \times 0.01 \text{ кг} \times 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}}{10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}} = 0.02 \text{ м}$.

3. Вычисление перемещения точки O.

Положение точки O ($y_O$) можно выразить через положение верхнего шарика ($y_1$), недеформированную длину пружины ($L_0$) и ее удлинение ($\Delta x$):

$y_O = y_1 + L_0 + \Delta x$

Поскольку нижний шарик удерживается нитью, его положение можно считать неизменным. Примем его координату за ноль. Тогда координата верхнего шарика равна расстоянию между шариками: $y_1 = r$.

Начальное положение точки O: $y_{O1} = r_1 + L_0 + \Delta x_1$.

Конечное положение точки O: $y_{O2} = r_2 + L_0 + \Delta x_2$.

Искомое перемещение точки O равно разности ее конечной и начальной координат:

$\Delta y_O = y_{O2} - y_{O1} = (r_2 + L_0 + \Delta x_2) - (r_1 + L_0 + \Delta x_1) = (r_2 - r_1) + (\Delta x_2 - \Delta x_1)$

Подставим найденные значения:

$\Delta y_O = (0.3 \text{ м} - 0.15 \text{ м}) + (0.02 \text{ м} - 0.05 \text{ м}) = 0.15 \text{ м} - 0.03 \text{ м} = 0.12 \text{ м}$.

Ответ: Минимальное расстояние, на которое нужно переместить точку O, равно $0.12 \text{ м}$ (или $12 \text{ см}$).