Номер 499, страница 106 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

499. Если расстояние между двумя точечными зарядами уменьшить на $\Delta r = 20$ см, сила взаимодействия между ними увеличится в $n = 4$ раза. Определите первоначальное расстояние между зарядами.

Дано:

$ \Delta r = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м} $

$ n = 4 $

Найти:

$ r_1 $

Решение:

Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами описывается законом Кулона:

$ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $

где $ F $ — сила взаимодействия, $ k $ — коэффициент пропорциональности, $ q_1 $ и $ q_2 $ — величины зарядов, $ r $ — расстояние между зарядами.

В начальном состоянии сила взаимодействия $ F_1 $ при расстоянии $ r_1 $ равна:

$ F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} $

После того как расстояние уменьшили на $ \Delta r $, новое расстояние $ r_2 $ стало:

$ r_2 = r_1 - \Delta r $

Новая сила взаимодействия $ F_2 $ увеличилась в $ n=4 $ раза по сравнению с начальной, то есть:

$ F_2 = n \cdot F_1 = 4 F_1 $

Запишем выражение для силы $ F_2 $ через новое расстояние $ r_2 $:

$ F_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_2^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{(r_1 - \Delta r)^2} $

Теперь составим систему уравнений, подставив выражения для сил:

$ 4 \cdot \left( k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} \right) = k \frac{|q_1 q_2|}{(r_1 - \Delta r)^2} $

Сократим в уравнении одинаковые множители $ k |q_1 q_2| $:

$ \frac{4}{r_1^2} = \frac{1}{(r_1 - \Delta r)^2} $

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояние — величина положительная, рассматриваем только арифметический корень:

$ \sqrt{\frac{4}{r_1^2}} = \sqrt{\frac{1}{(r_1 - \Delta r)^2}} $

$ \frac{2}{r_1} = \frac{1}{r_1 - \Delta r} $

Решим полученное уравнение относительно $ r_1 $, используя свойство пропорции:

$ 2(r_1 - \Delta r) = r_1 $

$ 2r_1 - 2\Delta r = r_1 $

$ 2r_1 - r_1 = 2\Delta r $

$ r_1 = 2\Delta r $

Подставим числовое значение $ \Delta r $ из условия задачи:

$ r_1 = 2 \cdot 0.2 \text{ м} = 0.4 \text{ м} $

Переведем результат в сантиметры: $ 0.4 \text{ м} = 40 \text{ см} $.

Ответ: первоначальное расстояние между зарядами составляло $ 40 $ см.