Номер 544, страница 116 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

544. Два положительных точечных заряда $q_1$ каждый находятся в вакууме на расстоянии $r$ друг от друга. Определите модуль силы, с которой они действуют на положительный точечный заряд $q_2$, находящийся на расстоянии $r$ от каждого из них. Рассмотрите случай, если один из зарядов $q_1$ отрицательный.

Дано:

Два точечных заряда $q_1$

Точечный заряд $q_2$

Расстояние между зарядами $q_1$ равно $r$

Расстояние от каждого из зарядов $q_1$ до заряда $q_2$ равно $r$

Все заряды в вакууме

Найти:

Модуль результирующей силы $F_{рез}$, действующей на заряд $q_2$.

Решение:

Из условия следует, что три заряда расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной $r$. Результирующая сила, действующая на заряд $q_2$, является векторной суммой сил, действующих на него со стороны каждого из зарядов $q_1$.

1. Два положительных заряда $q_1$

Поскольку все три заряда ($q_1, q_1, q_2$) положительны, силы, действующие на $q_2$, будут силами отталкивания. На заряд $q_2$ действуют две силы, $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, со стороны каждого из зарядов $q_1$.

Модули этих сил равны и определяются законом Кулона:

$F_1 = F_2 = F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Так как заряды образуют равносторонний треугольник, угол между векторами сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ составляет $60^\circ$.

Модуль результирующей силы $\vec{F}_{рез} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ найдем по теореме косинусов для векторов:

$F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(60^\circ)}$

Подставим значения $F_1 = F_2 = F$ и $\cos(60^\circ) = 1/2$:

$F_{рез} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F \cdot F \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2F^2 + F^2} = \sqrt{3F^2} = F\sqrt{3}$

Таким образом, модуль результирующей силы равен:

$F_{рез} = \sqrt{3} k \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{\sqrt{3} q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

Ответ: Модуль силы равен $F_{рез} = \sqrt{3} k \frac{q_1 q_2}{r^2}$.

2. Один из зарядов $q_1$ отрицательный

Пусть один заряд $+q_1$, а другой $-q_1$. Заряд $q_2$ по-прежнему положительный. На заряд $q_2$ действуют две силы: $\vec{F}_1$ со стороны заряда $+q_1$ (сила отталкивания) и $\vec{F}_2$ со стороны заряда $-q_1$ (сила притяжения).

Модули этих сил по-прежнему равны:

$F_1 = F_2 = F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Вектор $\vec{F}_1$ направлен вдоль прямой, соединяющей заряды $+q_1$ и $q_2$, в сторону от $+q_1$. Вектор $\vec{F}_2$ направлен вдоль прямой, соединяющей заряды $-q_1$ и $q_2$, в сторону к $-q_1$.

Угол между сторонами треугольника в вершине $q_2$ равен $60^\circ$. Угол между векторами сил $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Снова воспользуемся теоремой косинусов для нахождения модуля результирующей силы:

$F_{рез} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos(120^\circ)}$

Подставим значения $F_1 = F_2 = F$ и $\cos(120^\circ) = -1/2$:

$F_{рез} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F \cdot F \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{2F^2 - F^2} = \sqrt{F^2} = F$

Таким образом, модуль результирующей силы равен:

$F_{рез} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2}$

Ответ: Модуль силы равен $F_{рез} = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$.