Номер 560, страница 119 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

560. Три шарика соединены между собой одинаковыми резиновыми шнурами длиной $l_0$ каждый так, что получился правильный треугольник. Система лежит на гладком горизонтальном столе. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы площадь треугольника увеличилась в $n = 4$ раза? Жесткость каждого шнура равна $k_п$.

Дано:

Начальная длина резиновых шнуров (сторона треугольника): $l_0$

Жесткость каждого шнура: $k_п$

Увеличение площади треугольника в $n$ раз, где $n=4$

Заряды шариков одинаковы: $q$

Электрическая постоянная: $\epsilon_0$

Найти:

Заряд шариков $q$.

Решение:

1. Найдем связь между начальной и конечной длиной стороны треугольника. Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Начальная площадь системы, когда длина шнуров равна $l_0$, составляет $S_0 = \frac{l_0^2 \sqrt{3}}{4}$.

После сообщения шарикам зарядов шнуры растянулись, и длина стороны треугольника стала $l$. Новая площадь стала $S = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}$.

По условию задачи, новая площадь в $n=4$ раза больше начальной: $S = n S_0$.

Подставим выражения для площадей:

$\frac{l^2 \sqrt{3}}{4} = n \frac{l_0^2 \sqrt{3}}{4}$

Отсюда следует, что $l^2 = n l_0^2$, и новая длина стороны $l = \sqrt{n} l_0$.

Подставляя $n=4$, получаем: $l = \sqrt{4} l_0 = 2l_0$.

2. Рассмотрим условие равновесия для одного из шариков. Вследствие симметрии, система в новом положении равновесия также представляет собой правильный треугольник. На каждый шарик действуют силы со стороны двух других шариков.

Рассмотрим силы, действующие на один из шариков (например, верхний). На него действуют две силы упругости от двух шнуров, направленные к двум другим шарикам, и две силы электростатического отталкивания, направленные от двух других шариков. Все силы действуют вдоль сторон треугольника.

Пусть шарики обозначены как 1, 2 и 3. Условие равновесия для шарика 1: $\vec{F}_{2 \to 1} + \vec{F}_{3 \to 1} = 0$, где $\vec{F}_{2 \to 1}$ и $\vec{F}_{3 \to 1}$ — это суммарные силы (электростатическая + упругая), действующие со стороны шариков 2 и 3 соответственно.

Векторы $\vec{F}_{2 \to 1}$ и $\vec{F}_{3 \to 1}$ равны по модулю и направлены под углом $60^\circ$ друг к другу. Их векторная сумма может быть равна нулю только в том случае, если модули этих векторов равны нулю. Следовательно, для каждой пары шариков сила упругости, действующая со стороны шнура, полностью уравновешивает силу электростатического отталкивания.

$F_у = F_К$

3. Запишем выражения для сил.

Сила упругости, возникающая в шнуре, по закону Гука: $F_у = k_п \Delta l$, где $\Delta l$ - удлинение шнура.

$\Delta l = l - l_0 = 2l_0 - l_0 = l_0$.

Таким образом, $F_у = k_п l_0$.

Сила электростатического отталкивания между двумя шариками по закону Кулона:

$F_К = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{l^2}$.

Подставим $l=2l_0$:

$F_К = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{(2l_0)^2} = \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 l_0^2}$.

4. Приравняем модули сил и найдем заряд $q$.

$k_п l_0 = \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 l_0^2}$

Выразим $q^2$:

$q^2 = 16\pi\epsilon_0 k_п l_0^3$

Отсюда находим величину заряда $q$:

$q = \sqrt{16\pi\epsilon_0 k_п l_0^3} = 4\sqrt{\pi\epsilon_0 k_п l_0^3}$.

Ответ: $q = 4\sqrt{\pi\epsilon_0 k_п l_0^3}$.