Номер 567, страница 122 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

567. В вакууме в однородном электростатическом поле, вектор напряженности которого направлен вертикально вверх, находится в равновесии пылинка массой $m = 4,0 \cdot 10^{-8}$ кг и зарядом $q = 4,0$ нКл. Определите:

а) модуль напряженности поля;

б) модуль ускорения, с которым начнет двигаться пылинка, если ее заряд уменьшить вдвое;

в) модуль ускорения, с которым начнет двигаться пылинка, если, не изменяя ее заряда, уменьшить напряженность поля на 25 %.

Дано:

$m = 4,0 \cdot 10^{-8}$ кг

$q = 4,0$ нКл

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Перевод в СИ:

$q = 4,0 \cdot 10^{-9}$ Кл

Найти:

а) $E$ - модуль напряженности поля

б) $a_б$ - модуль ускорения, если заряд уменьшить вдвое

в) $a_в$ - модуль ускорения, если напряженность уменьшить на 25 %

Решение:

а) модуль напряженности поля;

Пылинка находится в равновесии, это означает, что векторная сумма всех действующих на нее сил равна нулю. На пылинку действуют две силы: сила тяжести $\vec{F}_{\text{т}} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и сила со стороны электростатического поля $\vec{F}_{\text{э}} = q\vec{E}$. Поскольку поле направлено вверх, а пылинка находится в равновесии, электрическая сила должна быть направлена вверх, чтобы скомпенсировать силу тяжести. Это означает, что заряд пылинки $q$ положителен, что соответствует условию задачи.

Запишем условие равновесия в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_{\text{э}} - F_{\text{т}} = 0$

Отсюда следует, что модули сил равны:

$F_{\text{э}} = F_{\text{т}}$

$qE = mg$

Выразим модуль напряженности электрического поля:

$E = \frac{mg}{q}$

Подставим числовые значения:

$E = \frac{4,0 \cdot 10^{-8} \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{4,0 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}} = 100 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Ответ: $100$ Н/Кл.

б) модуль ускорения, с которым начнет двигаться пылинка, если ее заряд уменьшить вдвое;

Если заряд пылинки уменьшить вдвое, то новый заряд будет равен $q' = q/2$. Масса пылинки и напряженность поля остаются прежними. Сила тяжести $F_{\text{т}} = mg$ не изменится, а новая электрическая сила станет $F'_{\text{э}} = q'E = \frac{q}{2}E$. Так как из начального условия равновесия мы знаем, что $mg = qE$, то $F'_{\text{э}} = \frac{mg}{2}$.

Сила тяжести теперь больше электрической силы ($F_{\text{т}} > F'_{\text{э}}$), поэтому на пылинку будет действовать результирующая сила, направленная вниз. Согласно второму закону Ньютона, пылинка начнет двигаться с ускорением $a_б$. Запишем уравнение движения в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$ma_б = F_{\text{т}} - F'_{\text{э}}$

$ma_б = mg - \frac{qE}{2}$

Подставим $qE = mg$:

$ma_б = mg - \frac{mg}{2} = \frac{1}{2}mg$

Сократив массу $m$, найдем ускорение:

$a_б = \frac{g}{2}$

Вычислим его значение:

$a_б = \frac{10 \text{ м/с}^2}{2} = 5,0 \text{ м/с}^2$

Ответ: $5,0$ м/с$^2$.

в) модуль ускорения, с которым начнет двигаться пылинка, если, не изменяя ее заряда, уменьшить напряженность поля на 25 % .

В этом случае заряд пылинки $q$ не изменяется, а напряженность поля уменьшается на 25 %. Новое значение напряженности поля будет составлять 75 % от первоначального: $E' = E - 0,25E = 0,75E$.

Сила тяжести $F_{\text{т}}$ останется прежней, а новая электрическая сила будет равна $F''_{\text{э}} = qE' = q(0,75E) = 0,75qE$.

Сила тяжести ($mg=qE$) снова окажется больше электрической силы ($F''_{\text{э}}=0,75qE$), и пылинка начнет двигаться с ускорением $a_в$ вниз. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$ma_в = F_{\text{т}} - F''_{\text{э}}$

$ma_в = mg - 0,75qE$

Используя соотношение $mg = qE$, получим:

$ma_в = mg - 0,75mg = 0,25mg$

Отсюда находим ускорение:

$a_в = 0,25g = \frac{1}{4}g$

Вычислим его значение:

$a_в = \frac{1}{4} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 2,5 \text{ м/с}^2$

Ответ: $2,5$ м/с$^2$.