Номер 570, страница 123 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

570. В вакууме в однородном электростатическом поле, модуль напряженности которого $E=1,0 \frac{\text{МВ}}{\text{м}}$, на непроводящей легкой нити висит шарик массой $m=2,0 \text{ г}$ и зарядом $q=20 \text{ нКл}$. Определите модуль силы натяжения нити, если вектор напряженности поля направлен вверх под углом $\alpha = 60^{\circ}$ к вертикали.

Дано:

$E = 1.0 \frac{\text{МВ}}{\text{м}}$

$m = 2.0 \text{ г}$

$q = 20 \text{ нКл}$

$\alpha = 60^\circ$

Перевод в систему СИ:
$E = 1.0 \times 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}$
$m = 2.0 \times 10^{-3} \text{ кг}$
$q = 20 \times 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

$T$

Решение:

На шарик в поле действуют три силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Электрическая сила (сила Кулона) $\vec{F_e} = q\vec{E}$. Так как заряд шарика $q > 0$, эта сила сонаправлена с вектором напряженности $\vec{E}$, то есть направлена вверх под углом $\alpha$ к вертикали.

3. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити.

Поскольку шарик находится в состоянии равновесия, согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех действующих на него сил равна нулю:

$\vec{F_g} + \vec{F_e} + \vec{T} = 0$

Из этого условия следует, что сила натяжения нити уравновешивает сумму силы тяжести и электрической силы:

$\vec{T} = -(\vec{F_g} + \vec{F_e})$

Модуль силы натяжения $T$ равен модулю векторной суммы сил $\vec{F_g}$ и $\vec{F_e}$:

$T = |\vec{T}| = |-(\vec{F_g} + \vec{F_e})| = |\vec{F_g} + \vec{F_e}|$

Модуль суммы двух векторов можно найти по теореме косинусов:

$T = \sqrt{F_g^2 + F_e^2 + 2F_g F_e \cos\theta}$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{F_g}$ и $\vec{F_e}$.

Вектор силы тяжести $\vec{F_g}$ направлен вертикально вниз. Вектор электрической силы $\vec{F_e}$ направлен вверх под углом $\alpha = 60^\circ$ к вертикали. Следовательно, угол между этими двумя векторами составляет $\theta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Вычислим модули силы тяжести и электрической силы. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

$F_g = mg = 2.0 \times 10^{-3} \text{ кг} \times 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 20 \times 10^{-3} \text{ Н} = 0.02 \text{ Н}$

$F_e = qE = (20 \times 10^{-9} \text{ Кл}) \times (1.0 \times 10^6 \frac{\text{В}}{\text{м}}) = 20 \times 10^{-3} \text{ Н} = 0.02 \text{ Н}$

В данном случае модули силы тяжести и электрической силы оказались равны.

Теперь подставим вычисленные значения в формулу для модуля силы натяжения. Учтем, что $\cos(120^\circ) = -0.5$.

$T = \sqrt{(0.02 \text{ Н})^2 + (0.02 \text{ Н})^2 + 2(0.02 \text{ Н})(0.02 \text{ Н})\cos(120^\circ)}$

$T = \sqrt{2 \times (0.02)^2 + 2 \times (0.02)^2 \times (-0.5)}$

$T = \sqrt{2 \times (0.02)^2 - (0.02)^2}$

$T = \sqrt{(0.02)^2}$

$T = 0.02 \text{ Н}$

Ответ: Модуль силы натяжения нити равен $0.02 \text{ Н}$.