Номер 575, страница 124 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

575. Две заряженные частицы находятся в вакууме на расстоянии $l = 1,0 \text{ м}$ друг от друга. Заряд первой частицы $q_1 = -2,0 \text{ мкКл}$, ее масса $m_1 = 2,0 \text{ мг}$. Заряд второй частицы $q_2 = 4,0 \text{ мкКл}$, ее масса $m_2 = 4,0 \text{ мг}$. Определите модуль напряженности однородного электростатического поля, которое необходимо создать, чтобы частицы двигались с одинаковыми ускорениями, т. е. расстояние между ними не изменялось. Силой тяжести, действующей на частицы, пренебречь.

Дано:

$l = 1,0$ м

$q_1 = -2,0$ мкКл $= -2,0 \cdot 10^{-6}$ Кл

$m_1 = 2,0$ мг $= 2,0 \cdot 10^{-6}$ кг

$q_2 = 4,0$ мкКл $= 4,0 \cdot 10^{-6}$ Кл

$m_2 = 4,0$ мг $= 4,0 \cdot 10^{-6}$ кг

$k = 9 \cdot 10^9$ Н$\cdot$м$^2$/Кл$^2$ (электрическая постоянная)

Найти:

$E$

Решение:

Чтобы расстояние между частицами не изменялось, они должны двигаться с одинаковым ускорением $\vec{a}$. Это означает, что векторная сумма всех сил, действующих на каждую частицу, должна сообщать ей это ускорение, согласно второму закону Ньютона.

На каждую частицу действуют две силы: сила Кулона со стороны другой частицы и сила со стороны внешнего однородного электростатического поля.

Расположим ось $Ox$ вдоль прямой, соединяющей частицы. Пусть частица с зарядом $q_1$ находится в начале координат, а частица с зарядом $q_2$ — в точке с координатой $x=l$.

Поскольку заряды $q_1$ и $q_2$ имеют разные знаки ($q_1 < 0, q_2 > 0$), они притягиваются друг к другу. Сила Кулона, действующая на первую частицу со стороны второй, $\vec{F}_{21}$, направлена в положительном направлении оси $Ox$. Сила Кулона, действующая на вторую частицу со стороны первой, $\vec{F}_{12}$, направлена в отрицательном направлении оси $Ox$. Модуль этих сил одинаков:

$F_C = |\vec{F}_{12}| = |\vec{F}_{21}| = k \frac{|q_1 q_2|}{l^2}$

Чтобы ускорения были одинаковыми, внешнее поле $\vec{E}$ должно быть направлено вдоль оси $Ox$. Тогда сила, действующая на частицу с зарядом $q$ со стороны поля, равна $\vec{F}_E = q\vec{E}$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$ для каждой частицы, где $a$ - проекция ускорения, а $E$ - проекция напряженности поля на ось $Ox$:

Для первой частицы:

$m_1 a = F_C + q_1 E$

Для второй частицы:

$m_2 a = -F_C + q_2 E$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $E$. Выразим ускорение из каждого уравнения:

$a = \frac{F_C + q_1 E}{m_1}$

$a = \frac{-F_C + q_2 E}{m_2}$

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{F_C + q_1 E}{m_1} = \frac{-F_C + q_2 E}{m_2}$

$m_2(F_C + q_1 E) = m_1(-F_C + q_2 E)$

$m_2 F_C + m_2 q_1 E = -m_1 F_C + m_1 q_2 E$

$F_C(m_1 + m_2) = E(m_1 q_2 - m_2 q_1)$

Отсюда находим напряженность поля $E$:

$E = \frac{F_C(m_1 + m_2)}{m_1 q_2 - m_2 q_1}$

Подставим выражение для силы Кулона $F_C$ и учтем знаки зарядов ($q_1 = -|q_1|, q_2 = |q_2|$):

$E = \frac{k \frac{|q_1 q_2|}{l^2}(m_1 + m_2)}{m_1 |q_2| - m_2 (-|q_1|)} = \frac{k |q_1 q_2|(m_1 + m_2)}{l^2(m_1 |q_2| + m_2 |q_1|)}$

Подставим числовые значения:

$E = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (2,0 \cdot 10^{-6} \cdot 4,0 \cdot 10^{-6}) \cdot (2,0 \cdot 10^{-6} + 4,0 \cdot 10^{-6})}{1,0^2 \cdot (2,0 \cdot 10^{-6} \cdot 4,0 \cdot 10^{-6} + 4,0 \cdot 10^{-6} \cdot 2,0 \cdot 10^{-6})}$

$E = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (8,0 \cdot 10^{-12}) \cdot (6,0 \cdot 10^{-6})}{1 \cdot (8,0 \cdot 10^{-12} + 8,0 \cdot 10^{-12})} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 10^{9-12-6}}{16 \cdot 10^{-12}}$

$E = \frac{432 \cdot 10^{-9}}{16 \cdot 10^{-12}} = 27 \cdot 10^3$ Н/Кл

Полученное значение положительно, значит, вектор напряженности $\vec{E}$ направлен вдоль оси $Ox$, то есть от отрицательного заряда к положительному. Модуль напряженности равен $27 \cdot 10^3$ В/м или $27$ кВ/м.

Ответ: $27$ кВ/м.