Номер 578, страница 124 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

578. Железный шар радиусом $R$ и зарядом $q$ помещен в керосин, плотность которого $\rho_к$. Определите модуль напряженности однородного электростатического поля в керосине, если шар плавает, полностью погрузившись в эту жидкость. Плотность железа равна $\rho_ж$.

Дано:

Радиус железного шара: $R$

Заряд шара: $q$

Плотность керосина: $\rho_к$

Плотность железа: $\rho_ж$

Найти:

Модуль напряженности электростатического поля: $E$

Решение:

На железный шар, находящийся в равновесии в керосине, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_т}$, выталкивающая сила (сила Архимеда) $\vec{F_A}$ и сила со стороны электростатического поля $\vec{F_э}$.

Согласно условию, шар плавает, то есть находится в равновесии. По второму закону Ньютона, условие равновесия шара записывается в виде равенства нулю векторной суммы всех действующих на него сил:

$\vec{F_т} + \vec{F_A} + \vec{F_э} = 0$

Выберем вертикальную ось $OY$, направленную вверх. Спроецируем силы на эту ось.

Сила тяжести $\vec{F_т}$ направлена вертикально вниз. Ее модуль равен $F_т = mg$, где $m$ – масса шара. Массу можно выразить через плотность железа $\rho_ж$ и объем шара $V$: $m = \rho_ж V$. Объем шара радиусом $R$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Таким образом, модуль силы тяжести равен:

$F_т = \rho_ж \frac{4}{3}\pi R^3 g$

Сила Архимеда $\vec{F_A}$ направлена вертикально вверх. Ее модуль равен весу вытесненной жидкости. Так как шар погружен полностью, объем вытесненного керосина равен объему шара $V$. Следовательно, модуль силы Архимеда:

$F_A = \rho_к V g = \rho_к \frac{4}{3}\pi R^3 g$

Плотность железа ($\rho_ж$) больше плотности керосина ($\rho_к$), поэтому сила тяжести $F_т$ по модулю больше силы Архимеда $F_A$. Для того чтобы шар находился в равновесии, электрическая сила $\vec{F_э}$ должна быть направлена вертикально вверх, компенсируя избыточную силу тяжести.

Уравнение равновесия в проекции на ось $OY$ имеет вид:

$F_A + F_э - F_т = 0$

Отсюда находим модуль электрической силы $F_э$:

$F_э = F_т - F_A$

Подставим выражения для модулей силы тяжести и силы Архимеда:

$F_э = \rho_ж \frac{4}{3}\pi R^3 g - \rho_к \frac{4}{3}\pi R^3 g = \frac{4}{3}\pi R^3 g (\rho_ж - \rho_к)$

С другой стороны, модуль электрической силы, действующей на заряд $q$ в однородном электростатическом поле с напряженностью $E$, равен $F_э = |q|E$.

Приравнивая два полученных выражения для $F_э$, получаем:

$|q|E = \frac{4}{3}\pi R^3 g (\rho_ж - \rho_к)$

Из этого уравнения выразим искомый модуль напряженности электростатического поля $E$:

$E = \frac{4\pi R^3 g (\rho_ж - \rho_к)}{3|q|}$

Ответ: $E = \frac{4\pi R^3 g (\rho_ж - \rho_к)}{3|q|}$