Номер 585, страница 126 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

585. Подвешенный на легкой нерастяжимой непроводящей нити шарик массой $m = 10 \text{ г}$ движется в горизонтальной плоскости по окружности со скоростью, модуль которой постоянен. Во сколько раз изменится период обращения шарика по прежней траектории, если ему сообщить заряд $q = 30 \text{ мкКл}$ и создать однородное направленное вертикально вниз электростатическое поле, модуль напряженности которого $E = 10 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$?

Дано:

Масса шарика $m = 10 \text{ г}$
Заряд шарика $q = 30 \text{ мкКл}$
Напряженность электрического поля $E = 10 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$
Ускорение свободного падения $g = 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Перевод в систему СИ:
$m = 10 \cdot 10^{-3} \text{ кг} = 0.01 \text{ кг}$
$q = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$
$E = 10 \cdot 10^3 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Найти:

Во сколько раз изменится период обращения шарика. Обозначим это отношение как $k = \frac{T_1}{T_2}$, где $T_1$ – начальный период, а $T_2$ – конечный период.

Решение:

Движение шарика на нити по окружности в горизонтальной плоскости представляет собой конический маятник. Рассмотрим два случая.

1. Движение без электрического поля.

На шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вдоль нити к точке подвеса. Пусть нить образует с вертикалью угол $\alpha$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает шарику центростремительное ускорение $a_{c1}$, направленное к центру окружности. Запишем уравнения в проекциях на вертикальную (Y) и горизонтальную (X) оси:

$OY: T_1 \cos\alpha - mg = 0 \implies T_1 = \frac{mg}{\cos\alpha}$

$OX: T_1 \sin\alpha = m a_{c1}$

Подставим выражение для $T_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{mg}{\cos\alpha} \sin\alpha = m a_{c1} \implies mg \tan\alpha = m a_{c1}$

Центростремительное ускорение связано с угловой скоростью $\omega_1$ и радиусом окружности $r$ как $a_{c1} = \omega_1^2 r$. Также можно выразить тангенс угла через радиус $r$ и высоту конуса $h$ (расстояние от точки подвеса до плоскости вращения): $\tan\alpha = \frac{r}{h}$.

$mg \frac{r}{h} = m \omega_1^2 r \implies \omega_1^2 = \frac{g}{h}$

Период обращения $T_1$ связан с угловой скоростью как $T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1}$. Тогда:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}$

2. Движение в электрическом поле.

Теперь к силе тяжести и силе натяжения нити $T_2$ добавляется электрическая сила $F_e = qE$. Так как заряд $q$ положительный, а поле $E$ направлено вертикально вниз, сила $F_e$ также направлена вертикально вниз.

Суммарная сила, действующая на шарик в вертикальном направлении, теперь равна $mg + qE$.

Так как по условию шарик движется по прежней траектории, радиус $r$, высота $h$ и, следовательно, угол $\alpha$ остаются неизменными.

Запишем уравнения движения для второго случая:

$OY: T_2 \cos\alpha - mg - qE = 0 \implies T_2 = \frac{mg + qE}{\cos\alpha}$

$OX: T_2 \sin\alpha = m a_{c2} = m \omega_2^2 r$

Подставим $T_2$ во второе уравнение:

$\frac{mg + qE}{\cos\alpha} \sin\alpha = m \omega_2^2 r \implies (mg + qE) \tan\alpha = m \omega_2^2 r$

Используя $\tan\alpha = \frac{r}{h}$, получаем:

$(mg + qE) \frac{r}{h} = m \omega_2^2 r \implies \omega_2^2 = \frac{mg + qE}{mh} = \frac{g + \frac{qE}{m}}{h}$

Новый период обращения $T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2}$:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g + \frac{qE}{m}}}$

3. Находим отношение периодов.

Чтобы найти, во сколько раз изменился период, найдем отношение $k = \frac{T_1}{T_2}$:

$k = \frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{h}{g}}}{2\pi\sqrt{\frac{h}{g + \frac{qE}{m}}}} = \sqrt{\frac{\frac{h}{g}}{\frac{h}{g + \frac{qE}{m}}}} = \sqrt{\frac{h}{g} \cdot \frac{g + \frac{qE}{m}}{h}} = \sqrt{\frac{g + \frac{qE}{m}}{g}} = \sqrt{1 + \frac{qE}{mg}}$

Подставим числовые значения:

$qE = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 0.3 \text{ Н}$

$mg = 0.01 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.1 \text{ Н}$

$k = \sqrt{1 + \frac{0.3}{0.1}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Так как $k = \frac{T_1}{T_2} = 2$, это означает, что $T_2 = \frac{T_1}{2}$. Период обращения уменьшился в 2 раза.

Ответ: Период обращения шарика уменьшится в 2 раза.