Номер 592, страница 128 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

592. В точке А модуль напряженности электростатического поля, созданного точечным зарядом, $E_A = 3,60 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$, а в точке С, лежащей на той же силовой линии, что и точка А, $E_C = 225 \frac{\text{В}}{\text{м}}$. Определите модуль напряженности электростатического поля на середине отрезка АС.

Дано:

Модуль напряженности в точке A: $E_A = 3,60 \frac{кВ}{м}$

Модуль напряженности в точке C: $E_C = 225 \frac{В}{м}$

Перевод в систему СИ:

$E_A = 3,60 \times 10^3 \frac{В}{м} = 3600 \frac{В}{м}$

Найти:

$E_M$ — модуль напряженности электростатического поля на середине отрезка AC.

Решение:

Модуль напряженности электростатического поля, созданного точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, определяется формулой:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

где $k$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Из этой формулы можно выразить расстояние $r$ от заряда до точки, в которой известна напряженность поля $E$:

$r = \sqrt{\frac{k|q|}{E}}$

Пусть расстояния от заряда до точек A и C равны $r_A$ и $r_C$ соответственно. Тогда:

$r_A = \sqrt{\frac{k|q|}{E_A}}$

$r_C = \sqrt{\frac{k|q|}{E_C}}$

Поскольку точки A и C лежат на одной силовой линии и $E_A > E_C$, то точка A находится ближе к заряду, чем точка C ($r_A < r_C$). Предположим, что заряд находится в точке O, тогда точки расположены в последовательности O, A, C.

Точка M, являющаяся серединой отрезка AC, находится на расстоянии $r_M$ от заряда, которое равно среднему арифметическому расстояний $r_A$ и $r_C$:

$r_M = \frac{r_A + r_C}{2}$

Подставим выражения для $r_A$ и $r_C$:

$r_M = \frac{1}{2} \left( \sqrt{\frac{k|q|}{E_A}} + \sqrt{\frac{k|q|}{E_C}} \right) = \frac{\sqrt{k|q|}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{E_A}} + \frac{1}{\sqrt{E_C}} \right)$

Напряженность поля в точке M равна:

$E_M = k \frac{|q|}{r_M^2}$

Подставим в эту формулу выражение для $r_M$:

$E_M = \frac{k|q|}{\left( \frac{\sqrt{k|q|}}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{E_A}} + \frac{1}{\sqrt{E_C}} \right) \right)^2} = \frac{k|q|}{\frac{k|q|}{4} \left( \frac{1}{\sqrt{E_A}} + \frac{1}{\sqrt{E_C}} \right)^2}$

После сокращения $k|q|$ получаем формулу для $E_M$, зависящую только от $E_A$ и $E_C$:

$E_M = \frac{4}{\left( \frac{1}{\sqrt{E_A}} + \frac{1}{\sqrt{E_C}} \right)^2}$

Теперь подставим числовые значения в СИ:

$E_A = 3600 \frac{В}{м}$

$E_C = 225 \frac{В}{м}$

$E_M = \frac{4}{\left( \frac{1}{\sqrt{3600}} + \frac{1}{\sqrt{225}} \right)^2} = \frac{4}{\left( \frac{1}{60} + \frac{1}{15} \right)^2}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю:

$E_M = \frac{4}{\left( \frac{1}{60} + \frac{4}{60} \right)^2} = \frac{4}{\left( \frac{5}{60} \right)^2} = \frac{4}{\left( \frac{1}{12} \right)^2}$

$E_M = \frac{4}{\frac{1}{144}} = 4 \times 144 = 576 \frac{В}{м}$

Ответ: модуль напряженности электростатического поля на середине отрезка AC равен $576 \frac{В}{м}$.