Номер 593, страница 128 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

593. Модуль напряженности электростатического поля, созданного точечным зарядом $q$, находящимся в вершине прямого угла (рис. 103), в точке $A$ и $C$ соответственно равен $E_A = 0,2 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$ и $E_C = 0,1 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.

Определите модуль напряженности поля в точке $B$.

Рис. 103

Дано:

$E_A = 0,2 \frac{кВ}{м}$

$E_C = 0,1 \frac{кВ}{м}$

$E_A = 0,2 \cdot 10^3 \frac{В}{м} = 200 \frac{В}{м}$

$E_C = 0,1 \cdot 10^3 \frac{В}{м} = 100 \frac{В}{м}$

Найти:

$E_B$

Решение:

Модуль напряженности электростатического поля, созданного точечным зарядом $q$, на расстоянии $r$ от него определяется по формуле:

$E = k \frac{|q|}{r^2}$

где $k$ - коэффициент пропорциональности в законе Кулона. Из этой формулы следует, что напряженность обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда.

Для точек A, C и B можно записать следующие соотношения:

$E_A = k \frac{|q|}{r_A^2}$

$E_C = k \frac{|q|}{r_C^2}$

$E_B = k \frac{|q|}{r_B^2}$

где $r_A, r_C, r_B$ - это расстояния от заряда $q$ до точек A, C и B соответственно.

Из этих формул выразим квадраты расстояний, обратные квадратам расстояний:

$\frac{1}{r_A^2} = \frac{E_A}{k|q|}$

$\frac{1}{r_C^2} = \frac{E_C}{k|q|}$

$\frac{1}{r_B^2} = \frac{E_B}{k|q|}$

Согласно рисунку, заряд $q$ находится в вершине прямого угла, а точки A и C лежат на его сторонах. Таким образом, отрезки $r_A$ и $r_C$ являются катетами прямоугольного треугольника. Точка B лежит на гипотенузе AC, причем отрезок $r_B$ (соединяющий заряд $q$ и точку B) перпендикулярен гипотенузе. Это означает, что $r_B$ является высотой прямоугольного треугольника, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Для высоты $h$ (в нашем случае $r_B$), опущенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике с катетами $a$ и $b$ (в нашем случае $r_A$ и $r_C$), существует известное геометрическое соотношение:

$\frac{1}{h^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$

Применительно к нашей задаче:

$\frac{1}{r_B^2} = \frac{1}{r_A^2} + \frac{1}{r_C^2}$

Теперь подставим в это геометрическое соотношение выражения для обратных квадратов расстояний, полученные из формул напряженности поля:

$\frac{E_B}{k|q|} = \frac{E_A}{k|q|} + \frac{E_C}{k|q|}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{1}{k|q|}$:

$E_B = E_A + E_C$

Подставим известные значения напряженностей в точках A и C:

$E_B = 0,2 \frac{кВ}{м} + 0,1 \frac{кВ}{м} = 0,3 \frac{кВ}{м}$

Ответ: модуль напряженности поля в точке В равен $0,3 \frac{кВ}{м}$.