Номер 581, страница 125 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

581. Электрон влетает в пространство между двумя разноименно заряженными параллельными пластинами на равном расстоянии от них. Через какое время электрон попадет на одну из пластин? Определите модуль скорости в момент касания пластины. Скорость электрона при влете параллельна пластинам, а ее модуль равен $v_0$.

Модуль напряженности однородного электростатического поля между пластинами равен $E$. Расстояние между пластинами $d$. Силой тяжести, действующей на электрон, пренебречь.

Дано:

Начальная скорость электрона: $v_0$
Модуль напряженности электрического поля: $E$
Расстояние между пластинами: $d$
Заряд электрона по модулю: $e$
Масса электрона: $m$

Найти:

Время движения до пластины: $t - ?$
Модуль скорости в момент касания пластины: $v - ?$

Решение:

Введем систему координат. Ось $OX$ направим параллельно пластинам, по направлению начальной скорости электрона $\vec{v}_0$. Ось $OY$ направим перпендикулярно пластинам. Начало координат $(0, 0)$ поместим в точку, где электрон влетает в пространство между пластинами. Так как электрон влетает посередине, то пластины находятся на координатах $y = d/2$ и $y = -d/2$.

На электрон в электрическом поле действует сила Кулона $\vec{F} = q\vec{E}$. Заряд электрона $q=-e$, поэтому сила направлена в сторону, противоположную вектору напряженности $\vec{E}$. Направим ось $OY$ в сторону действия этой силы. Тогда проекция силы на ось $OY$ будет $F_y = eE$, а на ось $OX$ проекция силы равна нулю, $F_x = 0$. Силой тяжести пренебрегаем по условию.

Согласно второму закону Ньютона $\vec{F} = m\vec{a}$, найдем компоненты ускорения:

$a_x = \frac{F_x}{m} = 0$

$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m}$

Движение электрона можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений: равномерного вдоль оси $OX$ и равноускоренного вдоль оси $OY$.

Законы движения для координат и скоростей:

Вдоль оси $OX$:
$v_x(t) = v_0$
$x(t) = v_0 t$

Вдоль оси $OY$ (начальная скорость $v_{0y} = 0$, начальная координата $y_0 = 0$):
$v_y(t) = a_y t = \frac{eE}{m}t$
$y(t) = \frac{a_y t^2}{2} = \frac{eE}{2m}t^2$

Через какое время электрон попадет на одну из пластин?

Электрон достигнет одной из пластин (той, к которой его притягивает сила), когда его координата $y$ станет равной половине расстояния между пластинами, то есть $y(t) = d/2$. Подставим это в уравнение для координаты $y$:

$\frac{d}{2} = \frac{eE}{2m}t^2$

Выразим из этого уравнения время $t$:

$d = \frac{eE}{m}t^2$

$t^2 = \frac{md}{eE}$

$t = \sqrt{\frac{md}{eE}}$

Ответ: Время, через которое электрон попадет на одну из пластин, равно $t = \sqrt{\frac{md}{eE}}$.

Определите модуль скорости в момент касания пластины.

Модуль полной скорости $v$ в любой момент времени можно найти по теореме Пифагора через ее компоненты $v_x$ и $v_y$:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Найдем компоненты скорости в момент времени $t = \sqrt{\frac{md}{eE}}$, когда электрон касается пластины.

Горизонтальная компонента скорости не меняется: $v_x = v_0$.

Вертикальная компонента скорости в этот момент будет:

$v_y = \frac{eE}{m}t = \frac{eE}{m}\sqrt{\frac{md}{eE}} = \sqrt{\frac{(eE)^2 m d}{m^2 eE}} = \sqrt{\frac{eEd}{m}}$

Теперь найдем модуль полной скорости:

$v = \sqrt{v_0^2 + \left(\sqrt{\frac{eEd}{m}}\right)^2} = \sqrt{v_0^2 + \frac{eEd}{m}}$

Ответ: Модуль скорости в момент касания пластины равен $v = \sqrt{v_0^2 + \frac{eEd}{m}}$.