Номер 577, страница 124 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

577. Шарик с зарядом $q = 0,10 \text{ мкКл}$ плавает в керосине в однородном электростатическом поле, модуль напряженности которого в этой жидкости $E = 2,1 \cdot 10^5 \frac{\text{В}}{\text{м}}$. Плотность керосина $\rho_1 = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, плотность вещества шарика $\rho_2 = 1,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$. Определите массу шарика, если он плавает, полностью погрузившись в керосин.

Дано:

$q = 0,10 \text{ мкКл}$
$E = 2,1 \cdot 10^5 \text{ В/м}$
$\rho_1 = 800 \text{ кг/м}^3$
$\rho_2 = 1,5 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:
$q = 0,10 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл}$
$\rho_2 = 1,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1,5 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1,5 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1,5 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$

Найти:

$m - ?$

Решение:

Шарик плавает, полностью погрузившись в керосин, значит, он находится в равновесии. На шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g$, направленная вниз, выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх, и сила со стороны электрического поля $F_e$.

Запишем условие равновесия в векторной форме:

$\vec{F_g} + \vec{F_A} + \vec{F_e} = 0$

Плотность вещества шарика ($\rho_2 = 1500 \text{ кг/м}^3$) больше плотности керосина ($\rho_1 = 800 \text{ кг/м}^3$). Это означает, что без электрического поля шарик утонул бы. Следовательно, для равновесия электрическая сила $F_e$ должна быть направлена вверх, против силы тяжести. Так как заряд шарика $q$ положителен, направление силы $F_e$ совпадает с направлением напряженности поля $E$. Значит, поле $E$ направлено вертикально вверх.

Спроецируем уравнение равновесия на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_A + F_e - F_g = 0$

$F_A + F_e = F_g$

Распишем каждую из сил:

Сила тяжести: $F_g = mg$, где $m$ – масса шарика, $g$ – ускорение свободного падения (примем $g \approx 10 \text{ м/с}^2$).

Сила Архимеда: $F_A = \rho_1 g V$, где $V$ – объем шарика.

Электрическая сила: $F_e = qE$.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$\rho_1 g V + qE = mg$

Массу и объем шарика можно связать через его плотность $\rho_2$: $m = \rho_2 V$, откуда $V = \frac{m}{\rho_2}$.

Подставим выражение для объема в уравнение равновесия:

$\rho_1 g \frac{m}{\rho_2} + qE = mg$

Выразим массу $m$:

$qE = mg - \rho_1 g \frac{m}{\rho_2}$

$qE = mg(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2})$

$m = \frac{qE}{g(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2})}$

Подставим числовые значения:

$m = \frac{1,0 \cdot 10^{-7} \text{ Кл} \cdot 2,1 \cdot 10^5 \text{ В/м}}{10 \text{ м/с}^2 \cdot (1 - \frac{800 \text{ кг/м}^3}{1500 \text{ кг/м}^3})} = \frac{2,1 \cdot 10^{-2}}{10 \cdot (1 - \frac{8}{15})} = \frac{2,1 \cdot 10^{-2}}{10 \cdot \frac{7}{15}} = \frac{2,1 \cdot 10^{-2} \cdot 15}{70} = \frac{0,3 \cdot 10^{-2} \cdot 15}{1} = 4,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Масса шарика равна $4,5 \cdot 10^{-3}$ кг или 4,5 г.

Ответ: $m = 4,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$.