Номер 571, страница 123 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

571. Шарик массой $m = 2,0$ г и зарядом $q = 1,0$ мкКл подвешен в вакууме на невесомой непроводящей нити, другой конец которой закреплен. После того как систему поместили в однородное вертикально направленное электростатическое поле, модуль силы натяжения нити остался таким же, как и при отсутствии поля. Определите модуль напряженности поля.

Дано:

$m = 2,0 \text{ г}$

$q = 1,0 \text{ мкКл}$

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$

$m = 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$q = 1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}$

Найти:

$E$ - модуль напряженности электростатического поля.

Решение:

1. Рассмотрим систему в отсутствие электростатического поля. На шарик действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вертикально вверх. Поскольку шарик находится в равновесии, эти силы уравновешивают друг друга:

$T_1 = mg$

2. Теперь поместим систему в однородное вертикально направленное электростатическое поле. На шарик, помимо силы тяжести и силы натяжения нити $T_2$, начинает действовать электрическая сила $F_э = qE$. По условию задачи, модуль силы натяжения нити не изменился, то есть $T_2 = T_1 = mg$.

3. Запишем условие равновесия для шарика в электростатическом поле. Все силы действуют вдоль одной вертикальной прямой. Выберем положительное направление оси Y вверх. Тогда сила тяжести $F_g$ всегда направлена вниз (отрицательна), а сила натяжения нити $T_2$ — вверх (положительна). Электрическая сила $F_э$ также направлена по вертикали.

Рассмотрим два возможных направления электрической силы $F_э$ (поскольку заряд $q$ положителен, направление $F_э$ совпадает с направлением поля $E$):

а) Электрическая сила $F_э$ направлена вниз. В этом случае уравнение равновесия имеет вид:

$T_2 - mg - F_э = 0$

$T_2 = mg + F_э$

Так как по условию $T_2 = mg$, получаем $mg = mg + F_э$, откуда $F_э = 0$. Это означает, что $E=0$, что является тривиальным решением и, как правило, не является искомым в задачах такого типа.

б) Электрическая сила $F_э$ направлена вверх. В этом случае уравнение равновесия выглядит так:

$T_2 + F_э - mg = 0$

$T_2 = mg - F_э$

Подставляя условие $T_2 = mg$, получаем $mg = mg - F_э$, что снова приводит к $F_э = 0$.

4. Проанализируем второй случай (пункт 3б) более детально. Уравнение $T_2 = mg - F_э$ справедливо, пока сила тяжести больше электрической силы ($mg > F_э$), и нить натянута вверх. Если же электрическая сила, направленная вверх, превысит по модулю силу тяжести ($F_э > mg$), то результирующая сила $(F_э - mg)$ будет направлена вверх. Чтобы система оставалась в равновесии, сила натяжения нити $T_2$ должна быть направлена вниз. В этом случае уравнение равновесия примет вид:

$F_э - mg - T_2 = 0$

$T_2 = F_э - mg$

Это нетривиальный случай, который соответствует условию задачи. Подставим известное значение $T_2 = mg$:

$mg = F_э - mg$

Отсюда находим электрическую силу:

$F_э = 2mg$

5. Зная, что $F_э = qE$, можем определить модуль напряженности поля:

$qE = 2mg$

$E = \frac{2mg}{q}$

6. Подставим числовые значения:

$E = \frac{2 \cdot 2,0 \cdot 10^{-3} \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{1,0 \cdot 10^{-6} \text{ Кл}} = \frac{40 \cdot 10^{-3}}{1,0 \cdot 10^{-6}} \text{ Н/Кл} = 40 \cdot 10^3 \text{ Н/Кл} = 40 \text{ кН/Кл}$

Ответ: $E = 40 \text{ кН/Кл}$.