Номер 569, страница 122 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

569. На столе в вертикальном положении закреплена упругая непроводящая пружина жесткостью $k$. Сверху на пружине лежит шарик, заряженный положительным зарядом $q$. После включения однородного электростатического поля, вектор напряженности которого направлен вертикально вниз, длина пружины уменьшилась на $|\Delta x|$. Определите модуль напряженности электростатического поля.

Дано:

Жесткость пружины: $k$

Заряд шарика: $q$

Уменьшение длины пружины: $|\Delta x|$

Найти:

Модуль напряженности электростатического поля: $E$

Решение:

Рассмотрим состояние системы до включения электрического поля. На шарик действует сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вниз, и сила упругости со стороны пружины $\vec{F}_{упр1}$, направленная вверх. В положении равновесия эти силы компенсируют друг друга. Пружина сжата на величину $x_1$. По второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_{упр1} - mg = 0 \implies F_{упр1} = mg$

Согласно закону Гука, $F_{упр1} = kx_1$. Таким образом, $kx_1 = mg$.

После включения однородного электростатического поля, вектор напряженности которого $\vec{E}$ направлен вертикально вниз, на шарик начинает действовать дополнительная сила – электрическая сила $\vec{F}_{э}$. Так как заряд шарика $q$ положительный, направление электрической силы совпадает с направлением вектора напряженности поля, то есть $\vec{F}_{э}$ направлена вниз. Модуль этой силы равен:

$F_{э} = qE$

Под действием этой дополнительной силы пружина сожмется еще сильнее, и шарик придет в новое положение равновесия. Длина пружины уменьшится на величину $|\Delta x|$, что означает, что ее сжатие увеличится на ту же величину. Новое сжатие пружины будет $x_2 = x_1 + |\Delta x|$.

В новом положении равновесия на шарик действуют сила тяжести $m\vec{g}$, электрическая сила $\vec{F}_{э}$ (обе направлены вниз) и новая сила упругости $\vec{F}_{упр2}$, направленная вверх. Условие равновесия в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$F_{упр2} - mg - F_{э} = 0 \implies F_{упр2} = mg + F_{э}$

По закону Гука, $F_{упр2} = kx_2 = k(x_1 + |\Delta x|)$.

Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:

$k(x_1 + |\Delta x|) = mg + qE$

Раскроем скобки:

$kx_1 + k|\Delta x| = mg + qE$

Так как из первого условия равновесия мы знаем, что $kx_1 = mg$, подставим это в полученное уравнение:

$mg + k|\Delta x| = mg + qE$

Вычитая $mg$ из обеих частей уравнения, получаем:

$k|\Delta x| = qE$

Отсюда выражаем модуль напряженности электростатического поля $E$:

$E = \frac{k|\Delta x|}{q}$

Ответ: $E = \frac{k|\Delta x|}{q}$