Номер 573, страница 123 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

573. Электрон движется по направлению силовых линий однородного электростатического поля, модуль напряженности которого равен $E$. Пренебрегая силой тяжести, действующей на электрон, определите путь, пройденный электроном до остановки, если модуль его начальной скорости равен $v_0$. За какой промежуток времени будет пройден этот путь?

Дано:

Модуль напряженности однородного электростатического поля: $E$
Начальная скорость электрона: $v_0$
Конечная скорость электрона: $v = 0$
Заряд электрона: $q = -e$ (где $e$ - элементарный заряд, $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл)
Масса электрона: $m_e$ (или просто $m$)

Найти:

1. Путь, пройденный электроном до остановки: $s$ - ?
2. Промежуток времени, за который будет пройден этот путь: $t$ - ?

Решение:

Электрон имеет отрицательный заряд $q = -e$. Сила $\vec{F}$, действующая на него в электростатическом поле с напряженностью $\vec{E}$, определяется как $\vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}$. Знак "минус" указывает, что сила, действующая на электрон, направлена в сторону, противоположную направлению силовых линий поля $\vec{E}$.

По условию, электрон движется по направлению силовых линий, то есть его начальная скорость $\vec{v_0}$ сонаправлена с вектором $\vec{E}$. Следовательно, сила $\vec{F}$ направлена против начальной скорости $\vec{v_0}$. Это означает, что электрон будет двигаться равнозамедленно до полной остановки.

Согласно второму закону Ньютона, $\vec{F} = m\vec{a}$. Приравняем выражения для силы: $m\vec{a} = -e\vec{E}$

Отсюда ускорение электрона (векторно): $\vec{a} = -\frac{e\vec{E}}{m}$

Для решения задачи выберем ось Ох, направленную вдоль начальной скорости электрона. Тогда проекция ускорения на эту ось будет отрицательной, а его модуль равен: $a = \frac{eE}{m}$

Определите путь, пройденный электроном до остановки

Для нахождения пути воспользуемся формулой кинематики для равноускоренного движения, не содержащей времени: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a_x}$

Так как конечная скорость $v=0$ (электрон останавливается), а проекция ускорения $a_x = -a = -\frac{eE}{m}$, подставим эти значения в формулу: $s = \frac{0^2 - v_0^2}{2(-\frac{eE}{m})} = \frac{-v_0^2}{- \frac{2eE}{m}} = \frac{mv_0^2}{2eE}$

Этот же результат можно получить из теоремы о кинетической энергии. Работа электрического поля $A$ равна изменению кинетической энергии электрона $\Delta W_k$: $A = \Delta W_k = W_{k2} - W_{k1}$

$A = F \cdot s \cdot \cos(180^\circ) = -F s = -eEs$

$\Delta W_k = 0 - \frac{mv_0^2}{2}$

$-eEs = -\frac{mv_0^2}{2} \implies s = \frac{mv_0^2}{2eE}$

Ответ: $s = \frac{mv_0^2}{2eE}$

За какой промежуток времени будет пройден этот путь?

Время движения до остановки можно найти из формулы для скорости при равноускоренном движении: $v = v_0 + a_x t$

Подставляем известные значения $v=0$ и $a_x = -\frac{eE}{m}$: $0 = v_0 - \frac{eE}{m}t$

Выразим время $t$: $\frac{eE}{m}t = v_0 \implies t = \frac{mv_0}{eE}$

Ответ: $t = \frac{mv_0}{eE}$