Номер 580, страница 125 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

580. Положительно заряженная частица влетает в пространство между двумя разноименно заряженными параллельными пластинами на равном расстоянии от них. Начальная скорость частицы направлена параллельно пластинам. Модуль этой скорости $v_0 = 980 \frac{\text{км}}{\text{с}}$. Расстояние между пластинами $d = 20 \text{ мм}$. Модуль однородного электростатического поля, созданного между платинами, $E = 5,0 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$. Определите удельный заряд $\left(\frac{q}{m}\right)$ частицы, если к моменту касания одной из пластин частица пролетела вдоль нее расстояние $l = 20 \text{ см}$. Силой тяжести, действующей на частицу, пренебречь.

Дано:
$v_0 = 980 \frac{км}{с} = 980 \cdot 10^3 \frac{м}{с} = 9.8 \cdot 10^5 \frac{м}{с}$
$d = 20 \text{ мм} = 20 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.02 \text{ м}$
$E = 5.0 \frac{кВ}{м} = 5.0 \cdot 10^3 \frac{В}{м}$
$l = 20 \text{ см} = 20 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0.2 \text{ м}$

Найти:
$\frac{q}{m}$

Решение

Движение заряженной частицы в однородном электростатическом поле можно рассматривать как суперпозицию двух независимых движений: равномерного движения в направлении, параллельном пластинам (вдоль оси Ox), и равноускоренного движения в направлении, перпендикулярном пластинам (вдоль оси Oy).

Зададим систему координат так, чтобы начало координат находилось в точке влета частицы, ось Ox была направлена параллельно пластинам в сторону движения, а ось Oy — перпендикулярно пластинам. Поскольку начальная скорость $v_0$ направлена параллельно пластинам, ее проекции на оси будут: $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$.

На частицу в электрическом поле действует сила $F = qE$, направленная перпендикулярно пластинам (вдоль оси Oy, так как частица заряжена положительно). Сила тяжести пренебрежимо мала. По второму закону Ньютона, ускорение частицы $a_y$ равно:$a_y = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$

Движение вдоль оси Ox является равномерным, так как в этом направлении силы не действуют. Пройденное расстояние $l$ за время $t$ равно:$l = v_0 t$

Движение вдоль оси Oy является равноускоренным с нулевой начальной скоростью. Частица влетает на равном расстоянии от пластин, поэтому до касания одной из них она должна пройти расстояние $\frac{d}{2}$. Это расстояние определяется уравнением:$\frac{d}{2} = \frac{a_y t^2}{2} = \frac{qE}{m} \frac{t^2}{2}$

Из уравнения для движения по оси Ox выразим время полета $t$:$t = \frac{l}{v_0}$

Подставим это выражение для времени в уравнение для движения по оси Oy:$\frac{d}{2} = \frac{qE}{2m} \left( \frac{l}{v_0} \right)^2$

Упростим выражение, сократив 2 в знаменателях:$d = \frac{qE}{m} \frac{l^2}{v_0^2}$

Теперь выразим искомый удельный заряд $\frac{q}{m}$:$\frac{q}{m} = \frac{d v_0^2}{E l^2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:$\frac{q}{m} = \frac{0.02 \text{ м} \cdot (9.8 \cdot 10^5 \frac{м}{с})^2}{5.0 \cdot 10^3 \frac{В}{м} \cdot (0.2 \text{ м})^2} = \frac{0.02 \cdot 96.04 \cdot 10^{10}}{5.0 \cdot 10^3 \cdot 0.04} = \frac{1.9208 \cdot 10^{10}}{200} = 0.9604 \cdot 10^8 \frac{Кл}{кг} \approx 9.6 \cdot 10^7 \frac{Кл}{кг}$

Ответ: удельный заряд частицы равен $9.6 \cdot 10^7 \frac{Кл}{кг}$.