Номер 576, страница 124 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

576. В вакууме в однородном электрическом поле, вектор напряженности которого направлен горизонтально, на гладкой непроводящей горизонтальной поверхности находятся два небольших шарика, заряженные равными по величине, но противоположными по знаку зарядами $|q_1| = |q_2| = 30 \text{ мкКл}$. Шарики, соединенные невесомой непроводящей упругой пружиной жесткостью $k_{\text{п}} = 3,0 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$, лежат на одной силовой линии. При этом пружина не деформирована. Определите модуль напряженности поля, если при изменении направления поля на противоположное пружина сжимается вдвое.

Дано:

$|q_1| = |q_2| = q = 30 \text{ мкКл}$

$k_п = 3,0 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

В начальном состоянии пружина не деформирована.

При смене направления поля пружина сжимается вдвое.

Перевод в систему СИ:

$q = 30 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 3 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}$

Найти:

$E$

Решение:

Рассмотрим систему в двух состояниях: до и после изменения направления электрического поля.

1. Начальное состояние.

Пусть начальное расстояние между шариками равно $l_0$ (длина недеформированной пружины). Шарики имеют разноименные заряды ($+q$ и $-q$), поэтому они притягиваются друг к другу с силой Кулона:

$F_К = k \frac{q^2}{l_0^2}$

где $k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ — постоянная Кулона.

Поскольку пружина не деформирована, сила упругости равна нулю. Это означает, что сила кулоновского притяжения уравновешена силой, действующей на каждый шарик со стороны внешнего электрического поля. Следовательно, поле должно расталкивать шарики. Для этого вектор напряженности $\vec{E}$ должен быть направлен от отрицательного заряда к положительному. Сила, действующая на каждый шарик со стороны поля, равна по модулю:

$F_Э = qE$

Из условия равновесия для любого из шариков имеем:

$F_Э = F_К$

$qE = k \frac{q^2}{l_0^2} \quad (1)$

2. Конечное состояние.

Направление электрического поля изменили на противоположное. Теперь сила со стороны поля $F_Э$ и сила Кулона $F_К$ направлены в одну сторону — они обе сжимают пружину. В состоянии равновесия их суммарное действие уравновешивается силой упругости пружины $F_{упр}$.

По условию, пружина "сжимается вдвое". Это означает, что новое расстояние между шариками стало $l = \frac{l_0}{2}$.

Сжатие пружины составляет $\Delta l = l_0 - l = l_0 - \frac{l_0}{2} = \frac{l_0}{2}$.

Сила упругости пружины по закону Гука:

$F_{упр} = k_п \Delta l = k_п \frac{l_0}{2}$

Новая сила Кулона при расстоянии $l = l_0/2$:

$F'_К = k \frac{q^2}{l^2} = k \frac{q^2}{(l_0/2)^2} = 4k \frac{q^2}{l_0^2}$

Сила со стороны поля $F_Э = qE$ не изменилась по модулю.

Условие равновесия для любого из шариков в конечном состоянии:

$F_{упр} = F_Э + F'_К$

$k_п \frac{l_0}{2} = qE + 4k \frac{q^2}{l_0^2} \quad (2)$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $E$ и $l_0$.

Из уравнения (1) видим, что $k \frac{q^2}{l_0^2} = qE$. Подставим это в уравнение (2):

$k_п \frac{l_0}{2} = qE + 4(qE) = 5qE$

Выразим из этого соотношения $l_0$:

$l_0 = \frac{10qE}{k_п}$

Теперь подставим полученное выражение для $l_0$ обратно в уравнение (1):

$qE = k \frac{q^2}{\left(\frac{10qE}{k_п}\right)^2} = k \frac{q^2 k_п^2}{100q^2 E^2} = \frac{k k_п^2}{100 E^2}$

Осталось выразить $E$:

$E^3 = \frac{k k_п^2}{100q}$

$E = \sqrt[3]{\frac{k k_п^2}{100q}}$

4. Вычисления.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$E = \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot (3,0 \frac{\text{Н}}{\text{м}})^2}{100 \cdot 3 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}}} = \sqrt[3]{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 9}{3 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt[3]{\frac{81 \cdot 10^9}{3 \cdot 10^{-3}}} = \sqrt[3]{27 \cdot 10^{12}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

$E = 3 \cdot 10^4 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

Учитывая, что $1 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 1 \frac{\text{В}}{\text{м}}$, получаем:

$E = 3 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}} = 30 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$

Ответ: модуль напряженности поля равен $3 \cdot 10^4 \frac{\text{В}}{\text{м}}$.