Номер 797, страница 175 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

797. Электронагреватель имеет две нихромовые проволоки, длины которых отличаются в два раза, а площади поперечного сечения одинаковые. При подключении к источнику постоянного напряжения этих проволок, соединенных последовательно, снег, находящийся при температуре плавления в электронагревателе, плавится за время $\tau_1 = 7,2$ мин. Определите время плавления снега в нагревателе, если обе проволоки соединить между собой параллельно и подключить к тому же источнику напряжения. Масса снега в обоих случаях одинаковая. Сопротивления проволок не зависят от условий работы электронагревателя. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

$l_2 = 2l_1$

$S_1 = S_2 = S$

$\tau_1 = 7,2 \text{ мин}$

$U = \text{const}$

$m = \text{const}$

$\tau_1 = 7,2 \text{ мин} = 7,2 \cdot 60 \text{ c} = 432 \text{ c}$

Найти:

$\tau_2$ - ?

Решение:

Сопротивление проволоки определяется по формуле $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление материала (нихрома), $l$ – длина проволоки, $S$ – площадь поперечного сечения.

Поскольку проволоки сделаны из одного материала и имеют одинаковую площадь поперечного сечения, их сопротивления зависят только от длины. Пусть сопротивление первой (короткой) проволоки равно $R_1 = R$. Тогда сопротивление второй (длинной) проволоки, длина которой в два раза больше, будет $R_2 = 2R$.

Количество теплоты, необходимое для плавления снега массой $m$, находящегося при температуре плавления, равно $Q = \lambda m$, где $\lambda$ – удельная теплота плавления льда. Поскольку масса снега в обоих случаях одинакова, количество теплоты $Q$ также будет одинаковым.

По закону Джоуля–Ленца, количество теплоты, выделяемое нагревателем, равно работе электрического тока: $Q = P \cdot \tau = \frac{U^2}{R_{общ}} \cdot \tau$, где $U$ – напряжение источника, $R_{общ}$ – общее сопротивление нагревателя, $\tau$ – время работы.

1. Последовательное соединение.

При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2 = R + 2R = 3R$.

Количество теплоты, выделившееся за время $\tau_1$:

$Q = \frac{U^2}{R_{посл}} \tau_1 = \frac{U^2}{3R} \tau_1$. (1)

2. Параллельное соединение.

При параллельном соединении общее сопротивление находится по формуле:

$R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2}{3}R$.

Количество теплоты, выделившееся за искомое время $\tau_2$:

$Q = \frac{U^2}{R_{пар}} \tau_2 = \frac{U^2}{\frac{2}{3}R} \tau_2 = \frac{3U^2}{2R} \tau_2$. (2)

Поскольку количество теплоты, необходимое для плавления снега, в обоих случаях одинаково, мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (2):

$\frac{U^2}{3R} \tau_1 = \frac{3U^2}{2R} \tau_2$.

Сократим одинаковые множители $U^2$ и $R$:

$\frac{\tau_1}{3} = \frac{3\tau_2}{2}$.

Выразим отсюда искомое время $\tau_2$:

$\tau_2 = \tau_1 \cdot \frac{2}{3 \cdot 3} = \tau_1 \cdot \frac{2}{9}$.

Подставим числовое значение $\tau_1$:

$\tau_2 = 7,2 \text{ мин} \cdot \frac{2}{9} = \frac{14,4}{9} \text{ мин} = 1,6 \text{ мин}$.

Ответ: время плавления снега при параллельном соединении проволок составит 1,6 мин.