Номер 794, страница 174 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

794. Определите длину нихромовой проволоки площадью поперечного сечения $S = 0,42 \text{ мм}^2$, использованную для изготовления нагревателя, который за время $\tau = 2,5 \text{ мин}$ нагреет воду массой $m = 1,5 \text{ кг}$ от температуры $t_1 = 10 \text{ °С}$ до температуры $t_2 = 98 \text{ °С}$. КПД нагревателя $\eta = 60 \, \%$. Напряжение на концах проволоки $U = 220 \text{ В}$.

Дано:

$S = 0,42 \text{ мм}^2$

$\tau = 2,5 \text{ мин}$

$m = 1,5 \text{ кг}$

$t_1 = 10 \text{ °C}$

$t_2 = 98 \text{ °C}$

$\eta = 60 \% = 0,6$

$U = 220 \text{ В}$

Удельное сопротивление нихрома $\rho = 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Перевод в систему СИ:

$S = 0,42 \text{ мм}^2 = 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$

$\tau = 2,5 \text{ мин} = 2,5 \cdot 60 \text{ с} = 150 \text{ с}$

Найти:

$l$ — ?

Решение:

1. Определим количество теплоты (полезную работу $Q_{полезная}$), необходимое для нагревания воды:

$Q_{полезная} = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

$Q_{полезная} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1,5 \text{ кг} \cdot (98 \text{ °C} - 10 \text{ °C}) = 4200 \cdot 1,5 \cdot 88 = 554400 \text{ Дж}$

2. Коэффициент полезного действия (КПД) нагревателя определяется как отношение полезной работы к полной работе ($A_{полная}$), совершенной электрическим током:

$\eta = \frac{Q_{полезная}}{A_{полная}}$

Отсюда найдем полную работу тока:

$A_{полная} = \frac{Q_{полезная}}{\eta} = \frac{554400 \text{ Дж}}{0,6} = 924000 \text{ Дж}$

3. Работа электрического тока также выражается формулой:

$A_{полная} = \frac{U^2}{R} \cdot \tau$, где $R$ — сопротивление проволоки.

Выразим сопротивление $R$ из этой формулы:

$R = \frac{U^2 \cdot \tau}{A_{полная}}$

$R = \frac{(220 \text{ В})^2 \cdot 150 \text{ с}}{924000 \text{ Дж}} = \frac{48400 \cdot 150}{924000} = \frac{7260000}{924000} \approx 7,857 \text{ Ом}$

4. Сопротивление проводника зависит от его длины $l$, площади поперечного сечения $S$ и удельного сопротивления материала $\rho$:

$R = \rho \frac{l}{S}$

Из этой формулы выразим искомую длину проволоки $l$:

$l = \frac{R \cdot S}{\rho}$

5. Подставим числовые значения и вычислим длину проволоки:

$l = \frac{7,857 \text{ Ом} \cdot 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{7,857 \cdot 0,42}{1,1} \approx 3 \text{ м}$

Можно решить задачу, объединив формулы:

$\eta = \frac{Q_{полезная}}{A_{полная}} = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{\frac{U^2}{R} \cdot \tau} = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) \cdot R}{U^2 \cdot \tau}$

Подставим $R = \rho \frac{l}{S}$:

$\eta = \frac{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) \cdot \rho \cdot l}{U^2 \cdot \tau \cdot S}$

Выразим длину $l$:

$l = \frac{\eta \cdot U^2 \cdot \tau \cdot S}{c \cdot m \cdot (t_2 - t_1) \cdot \rho}$

$l = \frac{0,6 \cdot (220 \text{ В})^2 \cdot 150 \text{ с} \cdot 0,42 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1,5 \text{ кг} \cdot (98 \text{ °C} - 10 \text{ °C}) \cdot 1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}} = \frac{0,6 \cdot 48400 \cdot 150 \cdot 0,42}{4200 \cdot 1,5 \cdot 88 \cdot 1,1} = \frac{1830840}{609840} = 3 \text{ м}$

Ответ: длина нихромовой проволоки равна 3 м.